インパルス応答と畳み込み

信号処理論入門　第8章 §8.2　★★★ LTIは畳み込み・因果性 h[n]=0(n<0) が基礎記述の核

インパルス応答の価値は、LTI システムの任意入力に対する出力がこれだけで決まることにある。準備として、任意の信号はインパルスの重ね合わせ

$$x[n]=x[n]*\delta[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\,\delta[n-m]$$

と書ける（$\delta$ は畳み込みの単位元）。これをシステムに入れ、線形性で和と $\mathcal{L}$ を交換し、時不変性で $\mathcal{L}[\delta[n-m]]=h[n-m]$とすれば

$$y[n]=\mathcal{L}\Bigl[\sum_m x[m]\delta[n-m]\Bigr] =\sum_m x[m]\,\mathcal{L}[\delta[n-m]] =\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\,h[n-m] =x[n]* h[n].$$

LTI システムの入出力関係は畳み込みである—線形性と時不変性だけからこれが出ることに注意しよう。第1章で畳み込みを最初に据えた理由がここで回収される。

因果性。オンライン処理（リアルタイム処理）では結果が原因に先んじることはできない。出力の展開

$$y[n]=\cdots+x[n]h[0]+x[n+1]h[-1]+x[n+2]h[-2]+\cdots$$

を見ると、$h[-1],h[-2],\dots$ の項が未来の入力 $x[n+1],x[n+2],\dots$ を参照している。よって現在の出力が現在と過去の入力のみに依存する条件（因果性）は

$$h[n]=0\quad(n<0)$$

である。以後、特に断らない限りシステムは因果的とする。このとき$y[n]=\sum_{m=0}^{\infty}h[m]x[n-m]$ であり、伝達関数は右側 z 変換になる。