伝達関数

信号処理論入門　第8章 §8.3　★★★ H(z)=Y/X と極零。差分方程式問題の中心

第7章で見たとおり $z^n$ は畳み込みの固有関数だから、$x[n]=z^n$ を入力すると

$$y[n]=h[n]* z^n=\Bigl(\sum_m h[m]z^{-m}\Bigr)z^n=H(z)\,z^n$$

となる。固有値に相当する

$$H(z)=\mathcal{Z}[h[n]]$$

を伝達関数と呼ぶ。畳み込み定理により入出力関係は

$$Y(z)=H(z)X(z)\qquad\Longleftrightarrow\qquad H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$$

という積の形になる。伝達関数が有理関数のときは因数分解して

$$H(z)=\frac{B(z)}{A(z)} =\frac{b_0\prod_{k=1}^{M}(1-z_kz^{-1})}{a_0\prod_{k=1}^{N}(1-p_kz^{-1})}$$

と書ける。分子の根 $z_k$ が零点、分母の根 $p_k$ が極であり、以後の章の標語を先取りすれば極が安定性を、零点が位相特性を支配する。

ここでも ROC が本質的である。$h_1[n]=u[n]$（因果的）と $h_2[n]=-u[-n-1]$（非因果的）はどちらも $H(z)=1/(1-z^{-1})$ を与えるが、ROC がそれぞれ $\left\vert z\right\vert >1$、$\left\vert z\right\vert <1$ と異なる（例題7.1）。因果的システムの ROC は最大の極の外側であり、逆に ROC を指定して初めて伝達関数からインパルス応答が一意に定まる。