BIBO 安定性

信号処理論入門　第8章 §8.4　★★★ |h|総和有限が全極単位円内と同値。安定判定の基本

十分性は畳み込みの素直な評価から出る：

$$\left\vert y[n]\right\vert =\Bigl|\sum_m h[m]x[n-m]\Bigr| \le\sum_m\left\vert h[m]\right\vert \,\left\vert x[n-m]\right\vert \le\left\Vert x\right\Vert _\infty\sum_m\left\vert h[m]\right\vert =\left\Vert x\right\Vert _\infty\left\Vert h\right\Vert _1<\infty.$$

必要性は対偶で示す。$h$ が絶対総和可能でないとき、明らかに有界な入力

$$x[n]=\operatorname{sgn}\bigl(h[-n]\bigr)= \begin{cases} 1, & h[-n]>0\\ 0, & h[-n]=0\\ -1, & h[-n]<0 \end{cases}$$

を入れると、$n=0$ での出力が

$$y[0]=\sum_m h[m]x[-m]=\sum_m\left\vert h[m]\right\vert =\left\Vert h\right\Vert _1=\infty$$

と発散する。つまり絶対総和可能でなければ BIBO 安定ではない。

これを伝達関数の言葉に翻訳すると、最もよく使う形になる。

理由は両方向とも部分分数分解で見える。極がすべて単位円内なら、$H(z)=\sum_k A_k/(1-p_kz^{-1})$ より $h[n]=\sum_k A_kp_k^nu[n]$ であり

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left\vert h[n]\right\vert \le\sum_k\left\vert A_k\right\vert \sum_{n=0}^{\infty}\left\vert p_k\right\vert ^n =\sum_k\frac{\left\vert A_k\right\vert }{1-\left\vert p_k\right\vert }<\infty$$

と絶対総和可能になる（等比級数の収束は $\left\vert p_k\right\vert <1$ が保証する）。逆に BIBO 安定なら $\left\vert H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\right\vert \le\sum_n\left\vert h[n]\right\vert <\infty$ よりROC が単位円を含む。因果的システムの ROC は最大極の外側だから、すべての極は単位円の内側になければならない。極が単位円上にある場合（例：ステップ $u[n]$、極 $z=1$）も$\left\Vert h\right\Vert _1=\infty$ となり不安定であることに注意する。