FIR システムと IIR システム

信号処理論入門　第8章 §8.5　★★★ FIRは常に安定・IIRは分母あり。差分方程式の実装

システムをディジタル信号処理プロセッサ（DSP）としてハードウェア実装するときの構成単位は、乗算器（$x[n]\mapsto ax[n]$）、加算器、遅延器（メモリ：$x[n]\mapsto x[n-1]$、z 領域では $z^{-1}$ 倍）の三つである。これらの組み合わせで実現できる入出力関係が差分方程式であり、インパルス応答の長さによって二つの族に分かれる。

FIR（finite impulse response）システムはインパルス応答が有限長のもので、差分方程式と伝達関数は

$$y[n]=b_0x[n]+b_1x[n-1]+\cdots+b_Qx[n-Q],\qquad H(z)=b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Qz^{-Q}$$

となる（時間シフトの性質をそのまま使った）。インパルス応答は係数そのもの：$h[n]=b_n$（$0\le n\le Q$）である。FIR システムの極は原点 $z=0$（$Q$ 重）のみだから常に BIBO 安定である。

IIR（infinite impulse response）システムはインパルス応答が無限長のものである。無限長の $h[n]$ を $y[n]=\sum_{m=0}^{\infty}h[m]x[n-m]$ のまま実装するには無限個の部品が必要になるが、出力のフィードバックを使うと有限の部品で済む。例えばステップの z 変換 $U(z)=1/(1-z^{-1})$ を伝達関数とするシステムは$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+\cdots$（累積和）で、このままでは実現できないが、$(1-z^{-1})Y(z)=X(z)$ と書き直せば

$$y[n]-y[n-1]=x[n]\qquad\Longleftrightarrow\qquad y[n]=y[n-1]+x[n]$$

と、過去の出力一つを再利用するだけの形になる。一般の差分方程式は

$$y[n]+a_1y[n-1]+\cdots+a_Py[n-P]=b_0x[n]+b_1x[n-1]+\cdots+b_Qx[n-Q]$$

であり、両辺を z 変換して

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Qz^{-Q}}{1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Pz^{-P}}$$

を得る。フィードバック係数 $\{a_p\}$ が分母を作り、極（したがって無限長の応答と安定性の問題）を生む—「IIR＝分母がある」と覚えてよい（ただしすべての IIR システムが有理関数で書けるわけではない）。

分母の次数が分子の次数以上（$P\ge Q$）のときプロパー、真に大きい（$P>Q$）とき真にプロパーと呼ぶ。$z$ の正べきで書き直すと、非プロパーな伝達関数は多項式部分＝未来の入力の参照を含むことになるから、因果的な LTI システムの伝達関数は常にプロパーである。