本章のまとめ

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第8章離散時間LTIシステム — 伝達関数と安定性

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第8章 §8.6　★★★ 差分方程式 $\to$ H(z) $\to$ 極零 $\to$ 安定・h[n]の一本道

離散LTIの全挙動はインパルス応答 $h[n]$ ひとつで決まり、入出力は畳み込み、z 領域では積 $Y(z)=H(z)X(z)$ になる。安定性は全極が単位円内に集約され、差分方程式 $\leftrightarrow H(z)\leftrightarrow$ 極零 $\leftrightarrow h[n]$ の往復が答案の骨である。

事項	要点（式）	使い所・注意
システムの三条件	線形 $\mathcal{L}[\alpha x+\beta y]=\alpha\mathcal{L}[x]+\beta\mathcal{L}[y]$ 、時不変（ $y[n]=\mathcal{L}[x[n]]\Rightarrow y[n-m]=\mathcal{L}[x[n-m]]$ ）、因果 $h[n]=0\,(n<0)$	時不変判定は「通す $\to$ シフト」と「シフト $\to$ 通す」の一致で。 $n\,x[n]$ は時変
インパルス応答と畳み込み	$h[n]=\mathcal{L}[\delta[n]]$ 。LTI の入出力は $y[n]=x[n]* h[n]=\sum_m x[m]\,h[n-m]$	線形＋時不変だけから畳み込みが出る。 $h[n]$ ひとつで全入力の応答が決まる
伝達関数 $H(z)$	$H(z)=\mathcal{Z}[h[n]]=\sum_n h[n]z^{-n}$ 、 $Y(z)=H(z)X(z)$ 。有理形 $H=\dfrac{B(z)}{A(z)}$ の分子根が零点・分母根が極	極が安定性を、零点が位相を支配。 $z^n$ は畳み込みの固有関数（固有値が $H(z)$ ）
差分方程式 $\leftrightarrow H(z)$	$\sum_p a_p y[n-p]=\sum_q b_q x[n-q]\ \leftrightarrow\ H(z)=\dfrac{\sum b_q z^{-q}}{1+\sum a_p z^{-p}}$ （ $z^{-1}$ ＝1サンプル遅延）	両辺 z 変換で往復。分子＝前向き（零点）、分母＝帰還（極）
ROC と因果性	因果系の ROC は最大極の外側 $\left\vert z\right\vert >\max_k\left\vert p_k\right\vert$	同じ $H(z)$ でも ROC で $h[n]$ が変わる。ROC 指定で $h[n]$ が一意
BIBO 安定（総和条件）	安定 $\iff \sum_n\left\vert h[n]\right\vert <\infty$ （絶対総和可能）	十分性は畳み込み評価、必要性は $x[n]=\operatorname{sgn}(h[-n])$ で発散させる対偶
BIBO 安定（極条件）	因果系で安定 $\iff$ 全極 $\left\vert p_k\right\vert <1$ （単位円内部） $\iff$ ROC が単位円を含む	安定判定の主役。単位円上の極（例 $u[n]$ の $z=1$ ）は不安定
FIR	$h[n]$ 有限長、 $H(z)=\sum_{q=0}^{Q}b_q z^{-q}$ 、 $h[n]=b_n$ 。極は原点のみ	帰還なし $\Rightarrow$ 常に安定・線形位相可。急峻には高次
IIR	帰還あり、 $h[n]$ 無限長。 $H(z)$ に分母（極）をもつ有理形。因果系は常にプロパー $P\ge Q$	「IIR＝分母あり」。累積和 $y[n]=y[n-1]+x[n]$ のように過去出力を再利用

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