周波数応答と四つの量

信号処理論入門　第9章 §9.1　★★★ 振幅・位相・群遅延。実係数の偶奇対称

安定なシステムに正弦波を入れると、同じ周波数の正弦波が振幅と位相だけ変わって出てくる。その変わり方を周波数の関数として表したものが周波数応答である。本章では周波数応答を極・零点の配置から作図で読み取る方法を身につけ、そのうえで位相に着目した三つの重要なシステム族—最小位相・線形位相・全域通過—を整理する。いずれも「振幅が同じでも位相の振る舞いは何通りもある」ことの現れであり、第11章のフィルタ設計の語彙になる。

因果的で BIBO 安定なシステムでは ROC が単位円を含むから、伝達関数を単位円上で評価できて

$$H(z)\Big|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}}=\sum_{n}h[n]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n}=\mathrm{DTFT}[h[n]]$$

となる。これが周波数応答であり、次の四つの量を定義する。

$$\begin{aligned}&\text{振幅応答：}\ \left\vert H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\right\vert ,\qquad \text{位相応答：}\ \arg\bigl(H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\bigr),\\ &\text{位相遅延：}\ -\arg\bigl(H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\bigr),\qquad \text{群遅延：}\ -\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega}\arg\bigl(H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\bigr).\end{aligned}$$

位相遅延は「その周波数の正弦波が何サンプル遅れて出てくるか（位相換算）」、群遅延は「その周波数のまわりに乗せた包絡線（波束）が何サンプル遅れるか」を表す。

実入出力システム（差分方程式の係数 $\{a_p\},\{b_q\}$ がすべて実数）では$H(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})=H^*(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})$ が成り立つから、振幅応答は偶関数、位相応答は奇関数になり、$\Omega\in[0,\pi]$ だけ調べれば全体が分かる。同じ理由で、実係数多項式の根は実数か複素共役対だから、極・零点は実軸上にあるか、実軸に関して対称なペアで現れる（$z=r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}$ が根なら $r\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\theta}$ も根。実係数の範囲では二次以下の因子に分解できる）。