極零配置による作図法

信号処理論入門　第9章 §9.2　★★★ 距離の積で振幅概形

伝達関数を因数分解した形で単位円上の点 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$ を代入すると、各因子は「零点（または極）から $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$ へ引いたベクトル」になる。例えば1次 FIR $H(z)=1-b_1z^{-1}=(z-b_1)/z$ では

$$\left\vert H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\right\vert =\frac{\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-b_1\right\vert }{\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-0\right\vert } =\frac{\ell(\Omega)}{1},\qquad \arg H=\theta(\Omega)-\Omega$$

となる。ここで $\ell(\Omega),\theta(\Omega)$ は零点 $b_1$ から $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$ へのベクトルの長さと偏角である。一般の有理伝達関数でも同様に、

$$\left\vert H\right\vert =\frac{\text{零点からの距離の積}}{\text{極からの距離の積}},\qquad \arg H=\text{零点偏角の和}-\text{極偏角の和}$$

が成り立つ。ここから周波数応答の概形が数値計算なしで読める：単位円上を動く点 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$ が零点に近づくと振幅は谷（単位円上の零点なら 0）、極に近づくと振幅は山になる。分母分子の $z$ のべきをそろえるときに現れる原点の極（バーチャルな極）は振幅を変えない（原点から単位円への距離は常に 1）が、位相には $-\Omega$ ずつ寄与するので忘れやすい。注意すること。

作図で位相の概形を描くとき、最後に必ず当てておきたい検算がある。位相を $\Omega$ について $0$ から $2\pi$ まで一周ぶん追いかけたときの総変化量は、途中の細かい形に依らず単位円の内側にある零点と極の個数だけで決まる。理由は単純で、$\arg H$ は各因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-z_k$ の偏角の和（極の分は差）であり、点 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$ が単位円を一周するあいだに、円内の点から見たベクトルは $2\pi$ だけ回りきるのに対し、円外の点から見たベクトルは行って戻るだけで元の偏角に帰る（正味 $0$）からである。