本章のまとめ

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第10章連続時間LTIシステムとアナログフィルタ

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第10章 §10.3　★ 離散の理論を連続へ写すだけ。IIR設計の下地として背景に

連続時間 LTI は離散時間の理論をほぼ機械的な置き換えで写したものである。 $z^n\to\mathrm{e}^{st}$ ・z変換 $\to$ Laplace 変換・単位円 $\to$ 虚軸の対応を押さえ、アナログ LPF の基本形 Butterworth（最大平坦・全極型）を IIR 設計の出発点として掴む。

事項	要点（式）	使い所・注意
固有関数と伝達関数	連続 LTI の固有関数は $\mathrm{e}^{st}$ 。伝達関数 $H(s)=\mathcal{L}[h(t)]=\int h(t)\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ （Laplace 変換）で $Y(s)=H(s)X(s)$	離散 $z^n\to\mathrm{e}^{st}$ 、z変換 $\to$ Laplace の写し替え。ほぼ機械的に対応する
微分方程式 $\to H(s)$	微分 $\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\Rightarrow s$ 倍。 $H(s)=\dfrac{b_0+b_1s+\cdots+b_Qs^Q}{1+a_1s+\cdots+a_Ps^P}$ は $s$ の有理関数	実現可能な系は常にプロパー（ $P\ge Q$ ）。非プロパーは微分演算子が残る
周波数応答	虚軸上の値 $H(\mathrm{j}\omega)=H(s)\big\|_{s=\mathrm{j}\omega}=\int h(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ ＝ $h$ の Fourier 変換	離散の「単位円上」に対応する場所が連続では「虚軸上」
BIBO 安定	応答条件 $\int\left\vert h(t)\right\vert \mathop{}\!\mathrm{d} t<\infty$ 。因果有理系では全極が開左半平面 $\operatorname{Re}\,s<0$ と同値	離散の「全極が単位円内」の連続版。安定なら ROC は虚軸を含む
z↔s の橋渡し	$z=\mathrm{e}^{sT}$ （ $T$ ：標本化周期）。虚軸 $\omega\in(-\pi/T,\pi/T]$ が単位円1周に対応	$\left\vert \omega\right\vert >\pi/T$ は同じ点に重なる＝エイリアシングの s 平面での姿
Butterworth 特性	$\left\vert H(\mathrm{j}\omega)\right\vert =\dfrac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^{2M}}}$ 。 $\omega{=}0$ で $1$ 、 $\omega_c$ で $1/\sqrt2$ （ $-3$ dB）	最大平坦（ $\omega{=}0$ で $2M{-}1$ 階まで微分 $0$ ）・リップルなし。切れ味は緩い
Butterworth 極配置	$\left\vert H\right\vert ^2{=}H(s)H(-s)$ の極は半径 $\omega_c$ の円上に等間隔 $2M$ 個。左半平面の $M$ 個を $H(s)$ に採る	虚軸上に極なし。分子は定数のみ＝零点なしの全極型。因果安定になる
2次 Butterworth	$H(s)=\dfrac{\omega_c^2}{s^2+\sqrt2\,\omega_c s+\omega_c^2}$ （ $M{=}2$ 、共役極 $\omega_c\mathrm{e}^{\pm\mathrm{j}3\pi/4}$ ）	最小構成の具体例。 $s{=}\mathrm{j}\omega$ 代入で $1/(1+(\omega/\omega_c)^4)$ を再現

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