Butterworth フィルタ

信号処理論入門　第10章 §10.2　★ 最大平坦・全極型。IIR設計の出発点（背景）

低い周波数だけを通す理想 LPF（矩形の振幅特性）は実現できないので、有理関数で近似する。最も基本的な近似が Butterworth フィルタ：

$$\left\vert H(\mathrm{j}\omega)\right\vert =\frac{1}{\sqrt{1+\bigl(\frac{\omega}{\omega_c}\bigr)^{2M}}}$$

である（$M$：次数、$\omega_c$：遮断周波数）。$\omega=0$ で 1、$\omega=\omega_c$ で $1/\sqrt2$（$-3\,$dB）、$\omega\to\infty$ で$(\omega/\omega_c)^{-M}$ で減衰する。$\omega=0$ での微分係数が $2M-1$ 階まで 0 になる最大平坦特性を持ち、通過域にも阻止域にもリップルがなく単調である。その代償として遮断特性（切れ味）は同じ次数の他のフィルタ（Chebyshev、楕円など）より緩い。

伝達関数 $H(s)$ は次の手順で構成する。$\left\vert H(\mathrm{j}\omega)\right\vert ^2=H(\mathrm{j}\omega)H^*(\mathrm{j}\omega)=H(s)H(-s)\big|_{s=\mathrm{j}\omega}$（実係数を仮定）に注意して

$$H(s)H(-s)=\frac{1}{1+(-1)^M\bigl(\frac{s}{\omega_c}\bigr)^{2M}}$$

と $s$ の関数に延長し、分母 $=0$ から極を求めると

$$s=\begin{cases} \omega_c\exp\Bigl(\mathrm{j}\dfrac{(2m+1)\pi}{2M}\Bigr) & (M\text{ 偶数})\\[8pt] \omega_c\exp\Bigl(\mathrm{j}\dfrac{m\pi}{M}\Bigr) & (M\text{ 奇数}) \end{cases} \qquad m=0,1,\dots,2M-1$$

となる。つまり極は半径 $\omega_c$ の円周上に等間隔に $2M$ 個並び、虚軸上には現れず、虚軸に関して対称に配置される（$M$ 奇数のときだけ実軸上に極がある）。$2M$ 個のうち左半平面にある $M$ 個を $H(s)$ に割り当てれば（右半平面の $M$ 個は $H(-s)$ の取り分）、因果的で BIBO 安定な伝達関数が得られる。共役対 $\omega_c\mathrm{e}^{\pm\mathrm{j}(\pi-\theta)}$ をまとめると実係数の2次因子$s^2+2\omega_c\cos\theta\,s+\omega_c^2$ になるから、

$$H(s)= \begin{cases} \displaystyle\omega_c^{M}\prod_{m=0}^{M/2-1} \frac{1}{s^2+2\omega_c\cos\theta_m\,s+\omega_c^2}, & \theta_m=\dfrac{(2m+1)\pi}{2M}\quad(M\text{ 偶数})\\[14pt] \displaystyle\frac{\omega_c^{M}}{s+\omega_c}\prod_{m=1}^{(M-1)/2} \frac{1}{s^2+2\omega_c\cos\theta_m\,s+\omega_c^2}, & \theta_m=\dfrac{m\pi}{M}\quad(M\text{ 奇数}) \end{cases}$$

と書ける（$M=2,3,4,5$ について、この積形式が確かに$\left\vert H(\mathrm{j}\omega)\right\vert ^2=1/(1+(\omega/\omega_c)^{2M})$ を再現することを数値検証済み：検算スクリプト [A1]）。分子は定数 $\omega_c^M$ のみ、すなわち零点を持たない全極型である。