Laplace 変換と伝達関数 — 離散との対応

信号処理論入門　第10章 §10.1　★ 離散との対応表。安定は左半平面。IIRの下地

第11章で IIR フィルタを設計するとき、出発点になるのはアナログフィルタ（連続時間 LTI システム）である。本章では離散時間で組み上げた理論を連続時間に写し替え（ほとんど機械的な置き換えで済む）、代表的なアナログ LPF であるButterworth フィルタを構成する。

連続時間 LTI システムの入出力は畳み込み積分

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)\mathop{}\!\mathrm{d}\tau$$

で結ばれる。離散時間の $z^n$ に対応する固有関数は $x(t)=\mathrm{e}^{st}$（$s\in\mathbb{C}$）で、

$$y(t)=\int h(\tau)\mathrm{e}^{s(t-\tau)}\mathop{}\!\mathrm{d}\tau =\underbrace{\int h(\tau)\mathrm{e}^{-s\tau}\mathop{}\!\mathrm{d}\tau}_{\text{固有値 }H(s)}\ \mathrm{e}^{st}$$

となる。固有値を与える変換

$$H(s)=\mathcal{L}[h(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t$$

が Laplace 変換であり、$H(s)$ を伝達関数と呼ぶ。$Y(s)=H(s)X(s)$ が成り立つ。因果性は離散時間とまったく同様に

$$h(t)=0\quad(t<0)$$

であり、因果的システムの伝達関数は右側 Laplace 変換 $\int_0^\infty h(t)\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ になる。微分方程式で書かれたシステム

$$y(t)+\sum_{p=1}^{P}a_p\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}^p}{\mathop{}\!\mathrm{d} t^p}y(t)=\sum_{q=0}^{Q}b_q\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}^q}{\mathop{}\!\mathrm{d} t^q}x(t)$$

は、微分が $s$ 倍に化けることから

$$H(s)=\frac{b_0+b_1s+\cdots+b_Qs^Q}{1+a_1s+\cdots+a_Ps^P}$$

という $s$ の有理関数になる（$P\ge Q$ でプロパー。非プロパーだと約分後に $s$ の多項式部分＝微分演算子が残ってしまうため、実現可能な系は常にプロパーである）。

BIBO 安定性も平行に進む：条件は $h(t)$ の絶対可積分$\int\left\vert h(t)\right\vert \mathop{}\!\mathrm{d} t<\infty$ であり（証明は和を積分に替えるだけ）、因果的な有理伝達関数ではすべての極が開左半平面 $\operatorname{Re}\,s<0$ にあることと同値になる。ROC は最も右の極より右側の右半平面で、安定なら虚軸を含む。周波数応答は虚軸上の伝達関数

$$H(\mathrm{j}\omega)=H(s)\big|_{s=\mathrm{j}\omega}=\int h(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t$$

すなわち $h$ の Fourier 変換である。