要点整理

要点

複素微分可能（1点）と正則（近傍）は別物 ★★

• 点 $z_0$ で複素微分可能：$z_0$ というその1点で極限 $f'(z_0)$ が$h$ の近づき方によらず存在する。
• 点 $z_0$ で正則：ある $\varepsilon>0$ が取れて、円板 $\left\vert z-z_0\right\vert <\varepsilon$ のすべての点で $f$ が複素微分可能である。
• 領域 $D$ で正則：$D$ の各点で正則（$D$ が開集合なら「$D$ の各点で複素微分可能」と同値）。

含意は「正則 $\Rightarrow$ 複素微分可能」の一方通行で、逆は成り立たない。CR 方程式を解いて得られる解集合が孤立点や曲線にとどまるとき、その関数はどの領域でも正則にならない。答案では「$z=z_0$ でのみ複素微分可能であり、正則となる領域は存在しない」と、二つを分けて書き切ること。

要点

Cauchy–Riemann（CR）方程式。$f=u+\mathrm{i} v$ が点 $z$ で正則$\iff$ $u,v$ が全微分可能かつ

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

このとき $f'(z)=u_x+\mathrm{i} v_x=v_y-\mathrm{i} u_y$。

要点

共役調和関数の幾何と存在。「共役」は複素共役 $\bar z$ とは無関係で、「$u$ とペアを組んで $f=u+\mathrm{i} v$ を正則にする相方」の意である。三つ押さえる。

• 等高線が直交：$\nabla u\!\cdot\!\nabla v=u_xv_x+u_yv_y=u_x(-u_y)+u_y(u_x)=0$。よって $u=$const と $v=$const の族は至る所直交する（物理では $u=$等ポテンシャル線、$v=$流線）。
• 定数の不定性：CR は $v$ の微分しか縛らないので、$v$ は加法定数だけ不定（$f$ は虚定数だけ不定）。
• 単連結性が要る：単連結領域なら共役調和は必ず存在するが、穴があると一価に取れないことがある。典型は $u=\log\left\vert z\right\vert =\tfrac12\log(x^2+y^2)$（原点以外で調和）で、共役は $v=\arg z$、一周すると $2\pi$ ずれる多価関数＝ $f=\log z$ の分岐に対応する。

要点

基本的な正則関数。多項式、$\mathrm{e}^z$、$\sin z,\cos z$ は全平面で正則（整関数）。$\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)$。一方 $\bar z$、$\operatorname{Re} z$、$\left\vert z\right\vert$ はどこでも正則でない（CR を満たさない）。$1/z$ は $z=0$ を除いて正則（$z=0$ は極）。