演習

$u_{xx}=2,\ u_{yy}=-2$ より $\nabla^2u=0$。調和である。CR より $v_y=u_x=2x$、積分して $v=2xy+g(x)$。もう一方の CR $v_x=-u_y=2y$ と $v_x=2y+g'(x)$ を比べ $g'(x)=0$、$g=$ 定数。よって $v=2xy+C$。したがって

$$f=x^2-y^2+\mathrm{i}(2xy)+\mathrm{i} C=(x+\mathrm{i} y)^2+\mathrm{i} C=z^2+\mathrm{i} C.$$

$u=\operatorname{Re}(z^2)$ から出発して $f=z^2$（＋虚定数）が復元された。与えられた $u$ から $v$ を CR で積分して $z$ の式に戻すのはよく使う型である。

$u=x,\ v=-y$。$u_x=1$、$v_y=-1$ で $u_x\ne v_y$。CR の第一式が破れるのでどこでも正則でない。実際、$h\to0$ を実軸から取ると $\frac{\overline{z+h}-\bar z}{h}=\frac{\bar h}{h}=1$、虚軸から取ると $-1$ となり、方向で極限が異なる。複素微分が存在しないことが直接見える。