要点整理

応用数学入門　第2章 §2.1　★★★ 基本積分 $\oint(z-a)^{-n}\mathop{}\!\mathrm{d} z$ と積分公式・高階公式

複素積分 $\int_C f(z)\mathop{}\!\mathrm{d} z$ は経路 $C$ に沿う線積分である。正則関数に対しては、その値が経路の連続変形で不変になるという著しい性質をもつ。

積分公式の核心は、正則関数の内部の値が境界上の値だけで決まることである。これは実関数にはない剛性で、「正則関数はあまりに整いすぎている」ことの表れである。証明の要は基本積分

$$\oint_{\left\vert z-a\right\vert =r}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{(z-a)^{n}} =\begin{cases}2\pi\mathrm{i},& n=1,\\ 0,& n\in\mathbb{Z},\ n\ne1,\end{cases}\tag{2.3}$$

であり、$z-a=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ と置けば直ちに確かめられる。留数定理はこの一般化に他ならない。