演習

$\mathrm{e}^z$ は整関数で、$z=1$ は $\left\vert z\right\vert =2$ の内部。積分公式より

$$\oint\frac{\mathrm{e}^z}{z-1}\mathop{}\!\mathrm{d} z=2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{z}\big|_{z=1}=2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}.$$

二階の方は $f^{(1)}$ の公式（$n=1$）：

$$\oint\frac{\mathrm{e}^z}{(z-1)^2}\mathop{}\!\mathrm{d} z=\frac{2\pi\mathrm{i}}{1!}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} z}\mathrm{e}^z\Big|_{z=1}=2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}.$$

どちらも $2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}$。分母の次数が上がると微分が入るのがポイントである。