要点整理

要点

孤立特異点の三分類と、使える留数公式 ★★

判定は「$(z-a)^m f(z)$ が $z\to a$ で有限の $0$ でない極限をもつような自然数 $m$ があるか」で行う。どんな $m$ を取っても $(z-a)^mf(z)$ が発散するなら真性特異点である。典型例は $\mathrm{e}^{1/z}$（$z=0$）・$\sin(1/z)$（$z=0$）・$\cos(1/z)$（$z=0$）。

要点

留数定理。$f$ が閉曲線 $C$ の内部で有限個の孤立特異点 $a_k$ を除き正則なら

$$\oint_C f(z)\mathop{}\!\mathrm{d} z=2\pi\mathrm{i}\sum_k\operatorname{Res}_{z=a_k}f.$$

留数の計算：$a$ が $m$ 位の極なら

$$\operatorname{Res}_{z=a}f=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to a}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}^{m-1}}{\mathop{}\!\mathrm{d} z^{m-1}}\bigl[(z-a)^m f(z)\bigr].$$

とくに単純極（$m=1$）では $\operatorname{Res}_{z=a}f=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$、$f=p/q$ で $q$ が単純零点なら $\operatorname{Res}=p(a)/q'(a)$。