演習

(1) 単純極。$\dfrac{1}{1+z^2}=\dfrac{1}{(z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i})}$ より$\operatorname{Res}_{z=\mathrm{i}}=\dfrac{1}{z+\mathrm{i}}\big|_{z=\mathrm{i}}=\dfrac{1}{2\mathrm{i}}$。（検算スクリプト で確認。）(2) $z=0$ は3位の極。$m=3$ の公式で$\operatorname{Res}=\dfrac{1}{2!}\lim_{z\to0}\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d}^2}{\mathop{}\!\mathrm{d} z^2}\mathrm{e}^z=\dfrac12$。（$\mathrm{e}^z=1+z+z^2/2+\cdots$ の $z^2$ の係数が $c_{-1}$ になることからも $1/2$。）(3) $\cot z=\dfrac{\cos z}{\sin z}$、$z=0$ は $\sin z$ の単純零点。$\operatorname{Res}=\dfrac{\cos z}{(\sin z)'}\big|_{0}=\dfrac{\cos0}{\cos0}=1$。Laurent 展開の $z^{-1}$ 係数を読むか極位数の公式か、状況で使い分けるとよい。