積分路の選び方 — 決定フローチャート

要点

フローチャートの急所：Q3 と Q4 の関係 ★★。Q3 で聞いているのは「偶関数化が使えるか」である。$\int_0^\infty$ 型の積分を半円法で処理するには、まず $\int_0^\infty=\tfrac12\int_{-\infty}^{\infty}$ と直さねばならず、この書き換えは被積分関数が偶関数のときにしか許されない。$1/(x^4+1)$ は偶関数なので Q3 で「はい」に抜けられるが、$1/(x^3+1)$ は偶関数でないため Q3 で「いいえ」となり、Q4 の扇形法が唯一の実用的な道になる。奇数次の $x^n+1$ に半円法を持ち込もうとして詰まるのは、この一点を飛ばしたときである。なお $x^4+1$ のようにどちらでも解ける場合、扇形法だと拾う極が1個で済むぶん計算量は少ない（§4.5 で両方を実演する）。