三角関数の有理式（単位円法）

$z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$、$\sin\theta=\dfrac{z-z^{-1}}{2\mathrm{i}}$、$\mathop{}\!\mathrm{d}\theta=\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathrm{i} z}$ を代入する。$1/\mathrm{i}=-\mathrm{i}$ に注意して分母を整理すると

$$1-2a\sin\theta+a^2=1+a^2+\mathrm{i} a\Bigl(z-\frac1z\Bigr).$$

$\mathop{}\!\mathrm{d}\theta=\dfrac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{\mathrm{i} z}$ を掛け、分母に $\mathrm{i} z$ を掛けて（$\mathrm{i}^2=-1$ を用いて）まとめると

$$\mathrm{i} z\Bigl[1+a^2+\mathrm{i} a\bigl(z-\tfrac1z\bigr)\Bigr] =-a z^2+\mathrm{i}(1+a^2)z+a=-a\Bigl(z^2-\mathrm{i}\tfrac{1+a^2}{a}z-1\Bigr).$$

よって

$$I=\oint_{\left\vert z\right\vert =1}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{-a\bigl(z^2-\mathrm{i}\tfrac{1+a^2}{a}z-1\bigr)}.$$

二次式の根は、根と係数の関係（積 $=-1$、和 $=\mathrm{i}\tfrac{1+a^2}{a}$）から$z_1=\mathrm{i} a,\ z_2=\mathrm{i}/a$（実際 $z_1z_2=\mathrm{i}^2=-1$、$z_1+z_2=\mathrm{i}(a+\tfrac1a)$）。単位円内にあるのは $z_1=\mathrm{i} a$（$\left\vert \mathrm{i} a\right\vert =a<1$）のみ。単純極の留数は

$$\operatorname{Res}_{z=\mathrm{i} a}\frac{1}{-a(z-\mathrm{i} a)(z-\mathrm{i}/a)}=\frac{1}{-a(\mathrm{i} a-\mathrm{i}/a)} =\frac{1}{-\mathrm{i} a^2+\mathrm{i}}=\frac{1}{\mathrm{i}(1-a^2)}.$$

よって $I=2\pi\mathrm{i}\cdot\dfrac{1}{\mathrm{i}(1-a^2)}=\dfrac{2\pi}{1-a^2}$。（検算スクリプト で確認済み。）検算として $a\to0$ で $I\to2\pi$（被積分が $1$）と整合する。