有理関数の広義積分（上半円法）

$1+z^4=0$ の根は $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\pi/4},\mathrm{e}^{5\mathrm{i}\pi/4},\mathrm{e}^{7\mathrm{i}\pi/4}$。上半平面にあるのは $z_1=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4},\ z_2=\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\pi/4}$。単純極なので $\operatorname{Res}=\dfrac{1}{(z^4)'}=\dfrac{1}{4z^3}=\dfrac{z}{4z^4}=\dfrac{z}{-4}$（$z^4=-1$ を使用）。

$$2\pi\mathrm{i}\Bigl(\frac{z_1+z_2}{-4}\Bigr) =2\pi\mathrm{i}\cdot\frac{-(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\pi/4})}{4}.$$

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}+\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\pi/4}=\mathrm{i}\sqrt2$ なので、値は$2\pi\mathrm{i}\cdot\dfrac{-\mathrm{i}\sqrt2}{4}=\dfrac{\pi}{\sqrt2}$。（検算スクリプト で確認。）$\operatorname{Res}=\dfrac{p(a)}{q'(a)}$ を使うと高次の分母でも手早く処理できる好例である。