指数・三角関数つき（Jordan の補題）

$\dfrac{\sin x}{x}=\operatorname{Im}\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{x}$ だが、$x=0$ に極があるので原点を半径 $\varepsilon$ の小半円で避け、上半円で閉じる積分路を取る。$\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}/z$ は積分路内部に極を持たないので周回積分は $0$。大半円は Jordan で消え、実軸の主値積分と小半円の寄与が残る。原点の小半円（半時計まわりを避けるので $-\pi$ 分回る）の寄与は$-\pi\mathrm{i}\,\operatorname{Res}_{z=0}\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}}{z}=-\pi\mathrm{i}$。したがって

$$\mathrm{P}\!\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{x}\mathop{}\!\mathrm{d} x-\pi\mathrm{i}=0 \ \Rightarrow\ \mathrm{P}\!\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{x}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\pi\mathrm{i}.$$

虚部を取ると $\int_{-\infty}^\infty\dfrac{\sin x}{x}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\pi$、偶関数なので$\int_0^\infty=\dfrac\pi2$。（検算スクリプト で確認。）実軸上の単純極は「半分の留数」$\pi\mathrm{i}\,\operatorname{Res}$ を寄与するという規則を、ここで使っている。