例題 4：定常位相法とフレネル積分

応用数学入門　第8章 §8.7　★★★ 停留位相法の計算。$\mathrm{e}^{i\pi/4}$ 因子と端点補正が要点

定常位相法の原理

★★★　定常点以外は相殺、$45°$ 傾きで $\mathrm{e}^{i\pi/4}$ が出る仕組み

純振動積分 $I(\lambda) = \int_a^b f(t)\mathrm{e}^{i\lambda\phi(t)}\mathrm{d} t$ では、$\lambda$ が大きくなると被積分関数は激しく振動し、定常点（$\phi'(t_0) = 0$）の近傍以外では相殺が起きる。

これは最急降下法の実数版であり、積分路が $45°$ 方向に傾くことから $\mathrm{e}^{i\pi/4}$ 因子が現れる。

フレネル積分の計算

★★★　定常点が端点なので $\times1/2$ 補正して厳密値と一致を確認

$\phi(t) = t^2$ とすると定常点 $\phi'(t) = 2t = 0 \Rightarrow t_0 = 0$ は積分区間の端点である。端点の場合は内点の場合の $1/2$ の寄与を与える。$\phi''(0) = 2 > 0$ を式 (8.9) に代入し端点補正 $\times 1/2$ をかけると、

$$F(\lambda) \sim \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda \cdot 2}}\,\mathrm{e}^{i\pi/4} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}.$$

$$\boxed{F(\lambda) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{i\lambda t^2}\mathrm{d} t \sim \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}, \quad \lambda \to +\infty.}\tag{8.10}$$

検証（厳密値）： $F(\lambda)$ は厳密に計算でき、$\lambda > 0$ すべてで

$$\int_0^\infty \mathrm{e}^{i\lambda t^2}\mathrm{d} t = \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi/\lambda}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$$

が成立する。$f(t) = 1$（定数）なので高次項が存在せず、主要項が厳密値と一致する。