補遺：鞍点法と漸近展開のつながりの核心

応用数学入門　第8章 §8.9　★ 鞍点法＝漸近展開そのもの、べき乗則は退化の度合いで決まる総括

特に重要なのは、$\lambda$ のべき乗則が鞍点の「退化の度合い」によって決まる点である：

$$\begin{aligned}g''(z_0) \ne 0\colon &\quad \lambda^{-1/2}\text{ のべきで展開（最急降下法）}\\ g''(z_0) = 0,\; g'''(z_0) \ne 0\colon &\quad \lambda^{-1/3}\text{ のべきで展開}\\ g^{(2)} = g^{(3)} = 0,\; g^{(4)}\ne 0\colon &\quad \lambda^{-1/4}\text{ のべきで展開（エアリー型）}\end{aligned}$$

これらのべきは、最急降下路のガウス積分が鞍点で $k$ 次の最小値を持つことから自然に導かれる。