周期関数と問題設定

応用数学入門　第9章 §9.1　★ 記号・設定の準備。$\omega_0=2\pi/T$。

すべての話はここから始まる。まず「周期をもつ関数は、同じ周期をもつ単純な波（正弦波・余弦波）の重ね合わせで書ける」という主張を、正確な形で述べ、そのための係数（フーリエ係数）をどう決めるかを見ていく。

関数 $f(t)$ が周期 $T$ の周期関数であるとは、すべての $t$ に対して

$$f(t+T)=f(t)$$

が成り立つことをいう。もっとも身近な周期関数は $\cos(2\pi t/T)$ や $\sin(2\pi t/T)$ である。角振動数を

$$\omega_0 \coloneqq \frac{2\pi}{T}$$

とおくと、$\cos(n\omega_0 t)$ と $\sin(n\omega_0 t)$（$n=0,1,2,\dots$）はいずれも周期 $T$ をもつ。$n$ が大きいほど速く振動する成分である。

問題は「係数 $a_n,b_n$ をどう決めれば、右辺が $f$ を再現するか」である。その鍵が、三角関数系のもつ直交性である。