三角関数系の直交性

応用数学入門　第9章 §9.2　★★ 係数を「射影」で取り出す土台。ここが分かれば係数公式は自明。

区間 $[-T/2,\,T/2]$（長さ $T$ の任意の一周期でよい）上での積分を考える。基本となるのは次の公式群である。$m,n$ を非負整数として、

$$\begin{align*}\int_{-T/2}^{T/2}\cos(m\omega_0 t)\cos(n\omega_0 t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t &= \begin{cases} 0 & (m\neq n)\\[2pt] T/2 & (m=n\neq 0)\\[2pt] T & (m=n=0)\end{cases}\\[4pt] \int_{-T/2}^{T/2}\sin(m\omega_0 t)\sin(n\omega_0 t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t &= \begin{cases} 0 & (m\neq n)\\[2pt] T/2 & (m=n\neq 0)\end{cases}\\[4pt] \int_{-T/2}^{T/2}\cos(m\omega_0 t)\sin(n\omega_0 t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t &= 0 \quad(\text{すべての }m,n).\end{align*}$$

これらは積和公式（例えば $\cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$）を使えば直ちに確かめられる。要点を言葉にすると：