フーリエ係数の決定

応用数学入門　第9章 §9.3　★★★ 第1手：オイラー–フーリエの公式で $a_n,b_n$ を計算する。

直交性を使えば係数はほとんど自動的に取り出せる。$f(t)$ のフーリエ級数の両辺に$\cos(m\omega_0 t)$ を掛けて一周期で積分してみよう。右辺では、直交性により$n=m$ の余弦項だけが生き残る：

$$\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos(m\omega_0 t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t = a_m\int_{-T/2}^{T/2}\cos^2(m\omega_0 t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t = a_m\cdot\frac{T}{2} \quad(m\ge1).$$

$\sin(m\omega_0 t)$ を掛ければ同様に $b_m$ が取り出せる。まとめると次を得る。

偶関数・奇関数の場合

★★　対称性で計算量が半減。$x^2$（偶）は余弦のみ、$x$・$x(\pi^2-x^2)$（奇）は正弦のみ。

$f$ が偶関数（$f(-t)=f(t)$）なら、奇関数 $\sin$ との積は奇関数なので $b_n=0$。$f$ は余弦だけで展開される（余弦級数）。逆に $f$ が奇関数なら $a_n=0$ で、正弦だけの正弦級数になる。対称性を先に見抜くと計算量が半分になる。