複素フーリエ級数

応用数学入門　第9章 §9.4　★★★ $f=\sum a_n\mathrm{e}^{\mathrm{i} nx}$ の複素形でも展開する。

オイラーの公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$ を使うと、正弦・余弦を複素指数にまとめられる。これがのちのフーリエ変換・ラプラス変換へまっすぐつながる形である。

$$\cos(n\omega_0 t)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega_0 t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} n\omega_0 t}}{2},\qquad \sin(n\omega_0 t)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega_0 t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} n\omega_0 t}}{2\mathrm{i}}.$$

これを代入して整理すると、級数は正負両方の $n$ にわたる一本の和になる。

複素形の直交性は次の一本の式に凝縮される：

$$\int_{-T/2}^{T/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\omega_0 t}\,\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega_0 t}}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\int_{-T/2}^{T/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(m-n)\omega_0 t}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t = T\,\delta_{mn}.$$

係数公式は、この直交性で $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega_0 t}$ 成分を「射影して取り出す」操作に他ならない。