収束とギブス現象

応用数学入門　第9章 §9.5　★★ 端点・不連続点での収束値（誤差 $\delta_N$ の収束、級数の特殊値代入）に直結。

フーリエ級数がもとの $f$ に収束するかは繊細な問題だが、物理でよく出会う関数については次のディリクレの定理が実用上十分である。

不連続点の近くでは、部分和が跳びの高さの約 $9\%$ だけ行き過ぎるギブス現象が起こる。項数を増やしても行き過ぎの幅は縮むが高さは消えない。これは「不連続関数を滑らかな波の有限和で近似する」ことの本質的な限界を示している。