パーセバルの等式

定理 （パーセバルの等式 ★★★）

$$\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\left\vert f(t)\right\vert ^2\,\mathop{}\!\mathrm{d} t = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\vert c_n\right\vert ^2 = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr).$$

左辺は信号の平均パワー、右辺は各振動数成分がもつパワーの総和。「エネルギーは振動数ごとに分配され、その総和は保存する」と読める。