例題：矩形波のフーリエ展開

$f$ は奇関数なので $a_n=0$。正弦係数だけを計算すればよい：

$$b_n=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-\cos(n\pi)}{n}.$$

$\cos(n\pi)=(-1)^n$ なので、$n$ が偶数なら $b_n=0$、奇数なら $b_n=\dfrac{4}{\pi n}$。したがって

$$f(t)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)t\bigr)}{2k+1} =\frac{4}{\pi}\Bigl(\sin t+\frac{\sin3t}{3}+\frac{\sin5t}{5}+\cdots\Bigr).$$

ためしに $t=\pi/2$ を代入すると $f=1$ で、右辺は$\frac{4}{\pi}\bigl(1-\frac13+\frac15-\cdots\bigr)$。これは有名なライプニッツ級数 $\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots$ を与える。なお $t=0$（不連続点）では右辺は $0$ となり、ディリクレの定理どおり左右極限の平均$\tfrac12(1+(-1))=0$ に一致する。