無限直線の拡散：フーリエ$\times$ラプラスと熱核

落とし穴

この章の要点.時間についてのラプラス変換で偏微分方程式は空間の常微分方程式になり、境界条件で積分定数が定まる。逆変換では積分則と変数変換により被積分をガウス型に整え、誤差関数を得た。無限直線では空間をフーリエ・時間をラプラスし、$\delta$ 初期条件で熱核 $K=\frac1{\sqrt{4\pi Dt}}\mathrm{e}^{-x^2/4Dt}$、一般には $K$ との畳み込み（グリーン関数解）に到る。拡散現象と $\operatorname{erf}$・$\sqrt t$ 相似則の結びつきは、物理のいたるところで再登場する。