ガウス積分

応用数学入門　第13章 §13.2　★★★ フーリエ変換・熱核の全計算の土台。平方完成つきで暗記。

$$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha t^2}\mathop{}\!\mathrm{d} t=\sqrt{\frac\pi\alpha},\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha t^2+\beta t}\mathop{}\!\mathrm{d} t=\sqrt{\frac\pi\alpha}\,\mathrm{e}^{\beta^2/4\alpha}\quad(\operatorname{Re}\alpha>0).$$