熱伝導問題への接続

応用数学入門　第14章 §14.2　★★ 積分則で $\operatorname{erfc}(x/2\sqrt t)$ へ。演習 11.3 の逆変換を確定。

さらに積分則 $\mathcal{L}^{-1}[F/s]=\int_0^t\mathcal{L}^{-1}[F]\,\mathop{}\!\mathrm{d} u$ を使えば、§4.3 の計算どおり

$$\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{\mathrm{e}^{-\sqrt s\,x}}{s}\right] =\int_0^t \frac{x}{2\sqrt\pi\,\tau^{3/2}}\mathrm{e}^{-x^2/4\tau}\mathop{}\!\mathrm{d}\tau =\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt t}\right)$$

が得られ、熱伝導問題の解 $u(x,t)=\operatorname{erf}\!\bigl(x/2\sqrt t\bigr)$ が確定する。