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この巻が答える問い

2026年10月9日4分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第1章 序章：近似を数学の言葉で見る

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第1章 §1.1　★★★ 出発点の問いと、答えの形

多電子原子の波動関数を原子軌道の線型結合で書く、各電子が他の電子の作る平均の場を感じると考える、流体を連続体と見て Navier–Stokes 方程式を立てる。物理ではこうした近似を、方程式が厳密に解けないので「物理的にもっともらしい」理由を付けて導入することが多い。この巻では、同じ近似を微分方程式と作用素の理論の側から眺め直し、それぞれの近似について次の3つを問う。

  • (i) その近似は、元の方程式の解とどういう数学的関係にあるか（部分空間への射影か、ある極限か、それとも根拠のない置き換えか）。
  • (ii) 近似解と真の解の差について、どこまで定理として言えるか（上界か、収束か、収束の速さか、何も言えないか）。
  • (iii) 物理的直観は、その定理のどの仮定に対応しているか。直観が外れる場面は、定理のどの仮定が破れる場面か。

ここで「解けない微分方程式の解の性質を調べる分野」と呼んでいるものは、一つの分野ではない。常微分方程式の定性的理論（Poincaré に始まり力学系の理論へ続く流れ）、偏微分方程式の適切性と正則性の理論、量子力学の作用素論（スペクトル理論）、漸近解析と特異摂動論、そして有効方程式を厳密に導く理論（平均場極限・流体力学極限・均質化）の集まりである。これらに共通する態度は、解を式で書くことを諦め、代わりに解が存在すること、どれだけ滑らかか、パラメータを動かすとどう変わるかを不等式で押さえることである。近似を正当化するとは、結局のところ「近似解と真の解の距離」を不等式で上から抑えることなので、この態度がそのまま近似の理論になる。

例題 1.1　解を書かずに不等式で押さえる ★★

オリジナルε=0.1\varepsilon =0.1 として、方程式 x=1+εsin⁡xx=1+\varepsilon \sin x を考える。この方程式の解は初等関数で書けない。

  • (1) 実数解がちょうど1つあり、それを x∗x_* とすると ∣x∗−1∣≤ε\lvert x_*-1\rvert \le\varepsilon が成り立つことを示せ。
  • (2) (1) の範囲 0.9≤x∗≤1.10.9\le x_*\le 1.1 を方程式の右辺に戻して、x∗x_* の範囲を幅 0.0110.011 程度まで狭めよ。
  • (3) 近似解 x~=1\tilde x=1 は、この章の問い (i) の意味で元の方程式の解とどういう関係にあるか。
解答

(1) f(x)=x−1−εsin⁡xf(x)=x-1-\varepsilon \sin x とおくと f′(x)=1−εcos⁡x≥1−ε>0f'(x)=1-\varepsilon \cos x\ge 1-\varepsilon >0 なので ff は狭義単調増加で、f(x)→±∞f(x)\to\pm\infty（x→±∞x\to\pm\infty）だから零点はちょうど1つある。その零点では x∗−1=εsin⁡x∗x_*-1=\varepsilon \sin x_* なので、∣sin⁡x∗∣≤1\lvert \sin x_*\rvert \le 1 から ∣x∗−1∣≤ε\lvert x_*-1\rvert \le\varepsilon が出る。解を式で書かずに、解の存在と一意性と位置を不等式で押さえたことになる。

(2) sin⁡\sin は [0.9, 1.1][0.9,\,1.1] で単調増加なので、x∗=1+εsin⁡x∗x_*=1+\varepsilon \sin x_* から

1+0.1sin⁡0.9≤x∗≤1+0.1sin⁡1.1,1.07833≤x∗≤1.08912.1+0.1\sin 0.9\le x_*\le 1+0.1\sin 1.1,\qquad 1.07833\le x_*\le 1.08912 .

幅は 0.01080.0108 に縮んだ。同じ操作を繰り返すと区間の幅は毎回およそ εcos⁡x∗≈0.046\varepsilon \cos x_*\approx 0.046 倍になり、数値解 x∗=1.0885978⋯x_*=1.0885978\cdots に近づく（検算スクリプト）。1回ごとに幅が一定の比で縮むのは、写像 x↦1+εsin⁡xx\mapsto 1+\varepsilon \sin x の傾きが ε\varepsilon 以下だからで、これは第2章で扱う縮小写像の不動点定理の最も簡単な場合である。

(3) x~=1\tilde x=1 は ε→0\varepsilon \to 0 の極限の問題 x=1x=1 の解で、(1) の不等式 ∣x∗−x~∣≤ε\lvert x_*-\tilde x\rvert \le\varepsilon がその近似の誤差評価になっている。問い (ii) に対しては「誤差は ε\varepsilon 以下」という上界が定理として言える。次の節の言葉では B 型（極限）の近似である。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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