近似の3つの型

近似の数理　第1章 §1.2　★★★ 巻の骨格となる分類

元の問題の解を $u$ とし、近似解を $\tilde u$ とする。物理で使われる近似の多くは、$\tilde u$ の作り方によって次の3つの型に分かれる。

3つの型は、正当化の形が違う。

A 型では、近似の誤差は「$V_n$ が $u$ をどれだけうまく近似できるか」で抑えられる。$V_n$ が線型空間で問題が線型なら、Céa の補題（第4章）が

$$\lVert u-u_n\rVert \le C\inf_{v\in V_n}\lVert u-v\rVert$$

を与え、固有値問題なら min-max 原理（第3章）が近似固有値が真の固有値の上界になることを保証する。右辺の $\inf_{v\in V_n}\lVert u-v\rVert$ がどれだけ速く 0 に近づくかは、$u$ の滑らかさ（正則性）で決まる。したがって A 型の近似の良し悪しは、解の正則性の理論に帰着する。

B 型では、誤差は「$\varepsilon$ がどれだけ小さいか」で抑えられる。数学が与えるのは、極限 $u_{\varepsilon }\to u_0$ が存在するという定理、それがどういう意味の収束か（エネルギーだけが収束するのか、関数として各点で収束するのか、平均としてしか収束しないのか）、そして収束の速さ $\lVert u_{\varepsilon }-u_0\rVert =\mathcal{O}(\varepsilon ^\alpha)$ である。現実の物理系では $\varepsilon$ は 0 でなく固定された値（電子と核の質量比、Knudsen 数、微細構造の周期と系の大きさの比）なので、B 型の近似を使うことは「この系はその極限に十分近い」と判断することにあたる。

C 型には、近似の内部に誤差を抑える仕組みが無い。正しさは、厳密に解ける場合との一致、満たすべき厳密な条件、実験や数値計算との比較で外から評価するしかない。

同じ名前の近似が、見方によって別の型に入ることがある。いちばん重要な例は平均場近似である。Hartree–Fock 法は、多体波動関数を Slater 行列式という特別な形に制限した変分法（A 型）だと見ることもできるし、粒子数 $N\to\infty$ で相互作用を $1/N$ に弱めた極限で厳密になる理論（B 型）だと見ることもできる。前者からは「エネルギーの上界」しか得られないが、後者からは「その極限では平均場が正しい」という定理が得られる。第5章と第6章はこの2つの顔をそれぞれ扱う。