さらに学ぶために

(1) $m_2'=\langle 2x\,x' \rangle =-2m_4$。$m_4$ の方程式を作ると $m_4'=-4m_6$ となり、低次の量の方程式に高次の量が必ず現れる。第6・8・9章の階層と同じ形である。

(2) $m_2'=-6m_2^2$、$m_2(0)=1$ を解いて $m_2(t)=\dfrac1{1+6t}$。

(3) $x(t)$ を微分すると $x'=-x_0^3(1+2x_0^2t)^{-3/2}=-x^3$ で、確かに解である。よって

$$m_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x_0^2}{1+2x_0^2t}\,\frac{\mathrm{e}^{-x_0^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{d} x_0 .$$

$t\to\infty$ では被積分関数の分数がほぼすべての $x_0$ で $1/(2t)$ に近づくので $m_2\approx1/(2t)$。閉じた式は $1/(6t)$ で、3倍小さい。数値では $t=1$ で厳密 $0.227$ に対し閉じた式 $0.143$、$t=100$ では $2t\,m_2$ が厳密 $0.916$（1 へゆっくり近づく）に対し閉じた式 $0.333$ である（検算スクリプト）。

(4) C 型である。$m_4=3m_2^2$ は分布が正規分布のままであるという仮定で、それを保証する小さいパラメータは無い。実際、$x'=-x^3$ は大きい $x$ ほど強く引き戻すので分布はすぐ正規分布から外れる。$t=0$ では分布が正規分布なので $m_2'(0)=-6$ は厳密と一致するが、2階微分は厳密が $8m_6=8\times15=120$、閉じた式が $72$ で、一致は1次までである。誤差は時間とともに小さくならず、長時間では比が 3 という $\mathcal{O}(1)$ のずれになる。「厳密に成り立つ点（ここでは $t=0$）での一致」は C 型の近似にとって正当化の代わりにはなるが、そこから離れたときの誤差の大きさは何も教えない。

(1) 各項の大きさは $\lambda$ の1次から順に $0.075$、$0.02625$、$0.02081$、$0.02413$ で、3次の項が最小になり、4次で増え始める。部分和は 1次 $0.575$、2次 $0.54875$、3次 $0.56956$、4次 $0.54543$。最小の項の手前（2次）で切っても直後（3次）で切っても、誤差は $-0.0104$、$+0.0104$ で、最小の項の半分程度にとどまる。部分和は厳密値の上下を交互に行き来し、どの次数で切っても上界か下界かは定理として言えない。B 型が与えるのは誤差の次数（いまは $\lambda^{k+1}$）までで、$\lambda=0.1$ という有限の値では誤差 $10^{-2}$ より小さくできない。

(2) 行列要素は $\langle \phi_0 | H | \phi_0 \rangle =\frac12+\frac34\lambda=0.575$、$\langle \phi_2 | H | \phi_2 \rangle =\frac52+\frac{39}4\lambda=3.475$、$\langle \phi_2 | H | \phi_0 \rangle =\frac32\sqrt2\,\lambda=0.212132$（$\phi_1$ との要素は奇偶で $0$ なので、偶関数だけを取った）。$2\times2$ 行列の最低固有値は

$$E_{\mathrm R}=\frac{0.575+3.475}2-\sqrt{\Bigl(\frac{3.475-0.575}2\Bigr)^2+0.212132^2}=2.025-1.465435=0.5595649,$$

固有ベクトルは $c_0=0.99736$、$c_2=-0.07257$。min-max 原理により $E_{\mathrm R}$ は上界で、誤差は $+4.2\times10^{-4}$（第1章の表の基底数 2 の行と同じ値）。

(3) $E_{\mathrm G}(s)=\frac1{8s}+\frac s2+3\lambda s^2$。$E_{\mathrm G}'(s)=0$ に $8s^2$ を掛けると $48\lambda s^3+4s^2-1=0$、すなわち $4.8s^3+4s^2-1=0$。正の根は $s=0.40943$ で、$E_{\mathrm G}=0.560307$。試行関数の集合 $\{\psi_s\}$ は線型空間でなく曲がった集合なので、得られるのは上界だけで、集合を広げたときの単調な改善や収束は保証されない。誤差は $+1.2\times10^{-3}$ で、2次元の線型部分空間 (2) より悪い。

(4) $s=\langle x^2 \rangle$ とおくと、仮定から $\langle p^2 \rangle =1/(4s)$、$\langle x^4 \rangle =3s^2$。virial 関係は $\frac1{4s}=s+12\lambda s^2$ となり、$4s$ を掛けて整理すると $48\lambda s^3+4s^2-1=0$。これは (3) の停留条件と同じ式で、エネルギー $\frac12\langle p^2 \rangle +\frac12\langle x^2 \rangle +\lambda\langle x^4 \rangle =\frac1{8s}+\frac s2+3\lambda s^2$ も同じである。2つの仮定はちょうどガウス関数が満たす関係なので、閉じた方程式はガウス関数の集合の上での変分の停留条件になっている。モーメントを閉じる手続きだけを見れば C 型で誤差の評価は無いが、この場合は同じ答えを A 型の変分としても読めるので上界が保証される。Hartree–Fock や $1/Z$ 展開と同じく、1つの近似が2つの型の見方をもつ例である。閉じる仮定が変分の集合に対応しない場合には、この保証は失われる。

(5) $H$ と $\phi_0,\phi_2$ は偶奇で分かれるので、偶関数の部分空間で Temple の不等式を使う。奇関数の $E_1=1.77$ は $5/2$ より小さいが、偶関数の Ritz ベクトルとは混ざらないので関係しない。$\lambda x^4\ge0$ より $H\ge H_0$ で、min-max 原理から偶の第2固有値は $H_0$ の偶の第2固有値 $\frac52$ 以上。よって $\varepsilon =\frac52$ にとれる（実際の値は $3.139$）。Ritz ベクトル $\tilde\psi$ では $\operatorname{span}\{\phi_0,\phi_2\}$ の中で $H\tilde\psi$ の成分が $E_{\mathrm R}\tilde\psi$ と一致するので、$\sigma^2=\lVert (H-E_{\mathrm R})\tilde\psi\rVert ^2$ は $\phi_4$・$\phi_6$ 成分だけから来る。

$$(H\tilde\psi)_4=\lambda\Bigl(c_0\tfrac{\sqrt6}2+7\sqrt3\,c_2\Bigr)=0.034166,\qquad (H\tilde\psi)_6=\lambda c_2\tfrac{3\sqrt{10}}2=-0.034423,$$

$\sigma^2=0.034166^2+0.034423^2=0.0023522$。Temple の不等式より

$$E_0\ge0.5595649-\frac{0.0023522}{2.5-0.5595649}=0.5595649-0.0012122=0.5583527 .$$

(6) 結果を並べると、Temple 下界 $0.5583527\le E_0=0.5591463\le$ Ritz 上界 $0.5595649$ で、区間の幅は $1.2\times10^{-3}$ である（検算スクリプト）。ガウス変分（C 型の閉じ方と同じ値）$0.560307$ は上界だが Ritz より悪く、摂動の部分和は最良でも誤差 $10^{-2}$ で区間の外にある。

誤差について保証されていたことを型ごとにまとめる。A 型の線型部分空間 (2) は上界と、部分空間を広げたときの単調な改善と収束を保証し、Temple の不等式 (5) と組み合わせると厳密値を挟む区間が手に入る。区間が得られたのはこの組だけである。A 型の曲がった集合 (3) は上界だけを保証する。B 型 (1) は誤差の次数を保証するが、有限の $\lambda$ での誤差の大きさや符号は保証せず、次数を上げても良くならない。C 型 (4) は単独では何も保証しないが、この例では閉じる仮定がガウス関数の集合に対応していたので A 型の上界を借りることができた。本章の表の三つの読み取り（A 型はほぼ完成、B 型は極限と現実の距離が別問題、C 型は内部の評価が無い）が、1つの振動子の上でそのまま見える。