近似を使うときの手順

(1) $E(s)=\frac14\bigl[(1+\delta)+(1+\delta)^{-1}\bigr]$ なので $E(s)-\frac12=\dfrac{\delta^2}{4(1+\delta)}$。誤差は $\delta$ の2次から始まる。$\delta=0$ が変分の停留点だからである。

(2) 2つのガウス関数の積の積分は

$$S=(2\pi)^{-1/2}(ss_0)^{-1/4}\int\mathrm{e}^{-x^2(\frac1{4s}+\frac1{4s_0})}\mathrm{d} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{ss_0}}{s+s_0}}\qquad(s_0=\tfrac12)$$

で、$s=s_0(1+\delta)$ を入れると $S^2=2\sqrt{1+\delta}/(2+\delta)$。対数をとって展開すると $\ln S^2=(\frac\delta2-\frac{\delta^2}4)-(\frac\delta2-\frac{\delta^2}8)+\mathcal{O}(\delta^3)=-\frac{\delta^2}8+\mathcal{O}(\delta^3)$、よって $1-S^2=\frac{\delta^2}8+\mathcal{O}(\delta^3)$。

(3) $\delta=0.2$ では $E-E_0=0.00833$（相対誤差 1.7%）、$1-S^2=0.00414$、$\lVert \psi_s-\phi_0\rVert =\sqrt{2(1-S)}=0.064$（6.4%）、$\langle x^2 \rangle =0.6$ は厳密値 $0.5$ から 20% ずれている（検算スクリプト）。エネルギーの誤差は波動関数の誤差の2乗の大きさなので小さく見えるが、$\langle x^2 \rangle$ のようなエネルギー以外の量の誤差は $\delta$ の1次で現れる。エネルギーが合っていることは、他の物理量が合っていることを保証しない。

(4) $\psi_s$ は偶関数なので、偶の固有関数 $\phi_0,\phi_2,\phi_4,\dots$ で $\psi_s=\sum c_k\phi_{2k}$ と展開でき、$\lvert c_0\rvert ^2=S^2$。$E(s)-E_0=\sum_k(E_{2k}-E_0)\lvert c_k\rvert ^2\ge(E_2-E_0)\sum_{k\ge1}\lvert c_k\rvert ^2=(E_2-E_0)(1-S^2)$。右辺は $2\times0.00414=0.00828$ で、左辺 $0.00833$ より確かに小さい。最低次では両辺とも $\delta^2/4$ で一致する。幅のずれは主に $\phi_2$ の混入として現れるからである。この不等式を逆に読むと、エネルギーの誤差から波動関数の誤差 $1-S^2$ の上限が出る。これは第4章の Temple の不等式と同じく、次の固有値の情報を使って誤差の幅を見積もる方法である。