物理的直観の位置

2026年10月9日4分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第11章終章：何がどこまで正当化されているか

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第11章 §11.3　★★ 第1章の問い (iii) への答え

第1章では、物理的直観は A 型では「良い部分空間を選ぶこと」、B 型では「小さいパラメータを見つけること」にあたると述べた。各章を通して、この対応はもう少し具体的になった。

A 型で直観が選ぶ部分空間は、真の解の特異性をどれだけ表せるかで良し悪しが決まる。原子軌道（Slater 型）は核のカスプを正しく表すので LCAO はよい出発点になるが、電子どうしのカスプは1電子軌道の積では表せないので、CI の収束は遅い（第4章）。直観が「電子は原子のまわりにいる」ことまでは捉えても、「電子どうしがぶつかる点で波動関数が尖る」ことは捉えにくい。

B 型で直観が見つける小さいパラメータには、それが小さいことが成り立たなくなる場所が付随する。Born–Oppenheimer 近似は電子状態のギャップが閉じる円錐交差で、境界層理論は剥離点で、流体近似は衝撃波の内部や壁近傍で破綻する（第7・8章）。これらはどれも、小さいパラメータの効果が局所的に増幅される場所である。物理の直観は大域的なパラメータの大きさを見積もるのは得意だが、局所的に近似が破れる場所は、方程式の構造（ギャップ・係数の符号・特異点）を調べて初めて分かることが多い。

講義のフントの規則（第10章）は、直観が誤った理由付けをする例だった。「平行スピンの電子は近寄らないので反発が減る」という説明は、三重項のエネルギーが低いという結論は正しく予測するが、精密な計算ではエネルギーが下がる仕組みが違う。結論が正しいことは、理由付けが正しいことを意味しない。近似を数学の側から見る価値は、結論だけでなく理由付けを検査できる点にある。

例題 11.3　小さいパラメータが局所的に大きくなる場所 ★★

オリジナル調和振動子 $V(x)=\frac12x^2$ （ $\hbar=m=1$ ）の準位 $E=n+\frac12$ を WKB 近似で扱う。WKB 近似が使える条件は、局所的な波長 $1/p(x)$ の変化が緩やかなこと、すなわち $\lvert \mathrm{d}(1/p)/\mathrm{d} x\rvert \ll1$ である（第7章）。ここで $p(x)=\sqrt{2E-x^2}$ 、転回点は $x=a\coloneqq\sqrt{2E}$ 。

(1) $\mathrm{d}(1/p)/\mathrm{d} x$ を計算し、転回点に近づくと発散することを示せ。
(2) $\lvert \mathrm{d}(1/p)/\mathrm{d} x\rvert =1$ となる点 $x_*$ と転回点の距離 $\delta=a-x_*$ が、 $E$ が大きいとき $\delta\approx\frac12a^{-1/3}$ となることを示せ。
(3) $n=10$ で $x_*$ と $\delta$ を数値で求め、古典的に許される領域 $[-a,a]$ のうち WKB が使えない部分の割合を求めよ。

解答

(1) $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(2E-x^2)^{-1/2}=x(2E-x^2)^{-3/2}=x/p^3$ 。 $x\to a$ で $p\to0$ なので発散する。準位がどれほど高くても（ $1/E$ がどれほど小さくても）転回点の近くでは条件が破れる。

(2) $x=a-\delta$ とおくと $p^2=(a-x)(a+x)\approx2a\delta$ 、分子の $x$ は $a$ で近似できるので、条件 $x=p^3$ は $a\approx(2a\delta)^{3/2}$ 。両辺を $2/3$ 乗して $a^{2/3}=2a\delta$ 、よって $\delta\approx\frac12a^{-1/3}$ 。

(3) $E=10.5$ 、 $a=\sqrt{21}=4.583$ 。方程式 $x=(21-x^2)^{3/2}$ を数値で解くと $x_*=4.285$ 、 $\delta=0.298$ で、(2) の漸近形 $\frac12a^{-1/3}=0.301$ とよく合う（検算スクリプト）。両端を合わせて $2\delta/(2a)=\delta/a=0.065$ 、つまり許される領域の約 6.5% で WKB が使えない。大域的な小さいパラメータ $1/E\approx0.1$ を見ているだけでは、この局所的な破れは見えない。破れる場所は「 $p=0$ 」という方程式の構造から決まり、第7章でこの領域を Airy 関数でつなぐ必要があったのはこのためである。

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