繰り返し現れた3つの仕組み

(1) $\tilde u'=1+t$ なので $r=1+t-(1+t+\frac12t^2)=-\frac12t^2$。$u'=u$ から $\tilde u'=\tilde u+r$ を引くと $e'=e-r=e+\frac12t^2$、$e(0)=0$ である。誤差は、残差を外力として受ける同じ方程式に従う。

(2) 定数変化法で $e(t)=\int_0^t\mathrm{e}^{t-s}\bigl(-r(s)\bigr)\mathrm{d} s$。$\mathrm{e}^{t-s}$ は正なので

$$\lvert e(t)\rvert \le\max_{0\le s\le t}\lvert r(s)\rvert \int_0^t\mathrm{e}^{t-s}\mathrm{d} s=\max_{0\le s\le t}\lvert r(s)\rvert \,(\mathrm{e}^t-1).$$

$\mathrm{e}^{t-s}$ は時刻 $s$ に入った小さな誤差が時刻 $t$ までに何倍になるかを表す増幅率で、第2章の Grönwall の不等式で $L=1$ とした場合にあたる。いまの残差では $\max\lvert r\rvert =\frac12t^2$ なので、評価は $\frac12t^2(\mathrm{e}^t-1)$ である。

(3) 実際の誤差は $e(t)=\mathrm{e}^t-1-t-\frac12t^2$（(2) の積分を計算しても同じ）。$t=1$ では評価 $0.859$、実際 $0.218$。$t=10$ では評価 $1.10\times10^6$、実際 $2.20\times10^4$ である（検算スクリプト）。どちらの時刻でも、誤差が $\mathrm{e}^t$ で増えるという性質は評価と実際で一致している。$u'=u$ は不安定な方程式なので、増幅率 $\mathrm{e}^t$ は評価の都合で付いたものでなく、本当に誤差を増やしている。粗いのは残差を最大値で置き換えた部分だけで、そのため評価は実際の約 $t^2/2$ 倍になる。この例は、Grönwall 型の評価が有限時間でしか役に立たない理由を示している。増幅率が指数関数なので、残差をどれほど小さくしても、十分に長い時間のあとでは評価が意味を失う。