偶関数・奇関数の積分を式で示す

• $\int_{-a}^a f(x) dx$について

$$\int_{-a}^a f(x) dx=\int_{-a}^0 f(x) dx+\int_{0}^a f(x) dx\quad\cdots\diamondsuit$$

である。ここで、$\int_{-a}^0 f(x) dx$について、
$t:=-x$なる置換を考える。このとき、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} x=-t\\ dx=-dt\\ x:-a\to 0\text{のとき}t:a\to 0 \end{cases}\end{aligned}$$

である。よって、

$$\begin{aligned}&\int_{-a}^0 f(x) dx=\int_{a}^0 f(-t) (-dt)\\ &=-\int_{a}^0 f(-t)dt\\ &=\int_0^a f(-t)dt\quad \cdots\heartsuit\end{aligned}$$

となる。ここで、$f(x)$は偶関数なので$f(-t)=f(t)$だから、

$$\begin{aligned}&\heartsuit =\int_0^a f(t)dt=\int_{0}^a f(x) dx\end{aligned}$$

となる。よって、

$$\begin{aligned}&\diamondsuit =\int_{0}^a f(x) dx +\int_{0}^a f(x) dx\\ &=2\int_{0}^a f(x) dx\end{aligned}$$

が得られる。□

• $\int_{-a}^a g(x) dx$について：省略。上記と同様に積分区間を$[-a,0]$と$[0,a]$にわけ、$[-a,0]$のほうの積分に対して$t:=-x$なる置換を考えてやればいい。各自やってみて。

$$\begin{aligned}&I:=\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} \log (1+\sqrt{3}\tan x) dx\\ &=\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} \log \left(1+\sqrt{3}\tan \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\right) dx\\ &=\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} \log \left(1+\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-\tan x)}{1+\sqrt{3}\tan x}\right)dx\\ &=\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} \log \left(\dfrac{4}{1+\sqrt{3}\tan x}\right)dx\\ &=\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} \log 4\,dx-\int_0^{\dfrac{\pi}{3}} \log \left(1+\sqrt{3}\tan x\right)dx\\ &=\dfrac{\pi}{3} \log 4 -I\end{aligned}$$

となる。つまり、

$$\begin{aligned}&I=\dfrac{\pi}{3} \log 4 -I\\ &\Leftrightarrow 2I=\dfrac{2\pi}{3} \log 2\\ &\Leftrightarrow I=\dfrac{\pi}{3} \log 2\quad\cdots\text{（答）}\end{aligned}$$