最終回のひとこと：高1数学Ⅲ

（１）

$0<|x|<\dfrac12$ のとき、$x^7+6x^2=x^2(x^5+6)$ と $2x^5+x^2=x^2(2x^3+1)$ はどちらも $0$ にならない（$x^5+6>5$、$2x^3+1>\dfrac34$ だから）。そこで $\theta=x^7+6x^2$ とおくと、

$$\begin{aligned}\dfrac{\sin (x^7+6x^2)}{2x^5+x^2}&=\dfrac{\sin\theta}{\theta}\cdot\dfrac{x^2(x^5+6)}{x^2(2x^3+1)}\\&=\dfrac{\sin\theta}{\theta}\cdot\dfrac{x^5+6}{2x^3+1}\end{aligned}$$

と書ける。$x\to0$ のとき $\theta\to0$（しかも $\theta\neq0$）なので $\dfrac{\sin\theta}{\theta}\to1$、また $\dfrac{x^5+6}{2x^3+1}\to6$ である。よって

$$\begin{aligned}\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin (x^7+6x^2)}{2x^5 + x^2}&=1\cdot6\\&=\boldsymbol{6}\end{aligned}$$

（２）

$y=e^{-\frac23x^3}$ はすべての実数 $x$ で定義され、$y>0$ である。微分すると

$$\begin{aligned}y'&=-2x^2e^{-\frac23x^3}\\y''&=\left(-4x+4x^4\right)e^{-\frac23x^3}\\&=4x(x-1)(x^2+x+1)\,e^{-\frac23x^3}\end{aligned}$$

$e^{-\frac23x^3}>0$ なので、$y'$ の符号は $-2x^2$ の符号と一致し、$x\neq0$ で $y'<0$、$x=0$ で $y'=0$ となる。$y'=0$ となるのは $x=0$ の1点だけなので、$y$ は実数全体で単調に減少する（$x=0$ で接線が水平になるが、極値はとらない）。

$y''$ の符号は、$x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$ より $x(x-1)$ の符号と一致する。したがって $x<0$ と $x>1$ で $y''>0$（下に凸）、$0<x<1$ で $y''<0$（上に凸）であり、$y''$ の符号は $x=0$ と $x=1$ の前後で入れかわる。増減と凹凸をまとめると次のようになる（表の $\searrow$ は減少、$\cup$ は下に凸、$\cap$ は上に凸を表す）。

端のようすは、$x\to\infty$ のとき $-\dfrac23x^3\to-\infty$ なので $y\to0$（$x$ 軸が漸近線）、$x\to-\infty$ のとき $-\dfrac23x^3\to\infty$ なので $y\to\infty$ である。

以上より、実数全体で減少し、$x<0$ と $x>1$ で下に凸、$0<x<1$ で上に凸。変曲点は $(0,\ 1)$ と $\left(1,\ e^{-\frac23}\right)$ で、グラフの概形は下の図のとおり。

（３）

$x=0$ を代入すると左辺は $1$、右辺は $0$ なので、$x=0$ は解ではない。よって $x\neq0$ の範囲で考えてよく、方程式は

$$a=\dfrac{e^x}{x^4}$$

と同値である。$g(x)=\dfrac{e^x}{x^4}\ (x\neq0)$ とおくと、求める解の個数は曲線 $y=g(x)$ と直線 $y=a$ の共有点の個数に等しい。

$$\begin{aligned}g'(x)&=\dfrac{e^x\cdot x^4-e^x\cdot4x^3}{x^8}\\&=\dfrac{e^x(x-4)}{x^5}\end{aligned}$$

$e^x>0$ なので、$g'(x)$ の符号は $\dfrac{x-4}{x^5}$ の符号で決まる。$x<0$ では分子・分母ともに負で $g'>0$、$0<x<4$ では $g'<0$、$x>4$ では $g'>0$ である。

端の極限を調べる。

• $x\to-\infty$ のとき、$e^x\to0$ かつ $x^4\to\infty$ なので $g(x)\to0$。
• $x\to0$ のとき（左右どちらから近づいても）、$e^x\to1$ かつ $x^4\to+0$ なので $g(x)\to\infty$。
• $x\to\infty$ のとき：$t\geqq0$ で $e^t\geqq1$ が成り立つ。これを $0$ から $x$ まで積分すると $e^x\geqq1+x$、もう一度積分すると $e^x\geqq1+x+\dfrac{x^2}{2}$、と5回くり返せば、$x>0$ で $e^x\geqq1+x+\cdots+\dfrac{x^5}{120}>\dfrac{x^5}{120}$ が得られる。よって $g(x)>\dfrac{x}{120}$ となり、$g(x)\to\infty$。

また $g(4)=\dfrac{e^4}{256}$ である。増減表は次のとおり（$0\nearrow\infty$ は「$0$ に近い値から $\infty$ へ増加」の意味）。

$g$ は各区間で連続かつ狭義単調なので、中間値の定理より次のことがいえる。

• $x<0$ では、$g$ は $0$ より大きいすべての値をちょうど1回ずつとる。
• $0<x\leqq4$ では、$g$ は $\dfrac{e^4}{256}$ 以上のすべての値をちょうど1回ずつとる。
• $x\geqq4$ でも、$g$ は $\dfrac{e^4}{256}$ 以上のすべての値をちょうど1回ずつとる。

$a=\dfrac{e^4}{256}$ のときは、2つ目と3つ目がどちらも $x=4$ の1点を指すので、重ねて数えないように注意する。以上から、解の個数は

• $a\leqq0$ のとき（$g(x)>0$ なので）$\boldsymbol{0}$ 個
• $0<a<\dfrac{e^4}{256}$ のとき $\boldsymbol{1}$ 個
• $a=\dfrac{e^4}{256}$ のとき $\boldsymbol{2}$ 個
• $a>\dfrac{e^4}{256}$ のとき $\boldsymbol{3}$ 個

となる。下の図で、直線 $y=a$ を上下に動かして共有点を数えると確かめられる（白丸が共有点。上の直線は $a>\dfrac{e^4}{256}$、下の直線は $0<a<\dfrac{e^4}{256}$ の例）。

（４）

$h(x)=\sin x-\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)$ とおき、$x\geqq0$ で $h(x)\geqq0$ を示す。

$$\begin{aligned}h'(x)&=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}\\h''(x)&=-\sin x+x\\h'''(x)&=1-\cos x\end{aligned}$$

であり、$h(0)=h'(0)=h''(0)=0$ である。

1. すべての $x$ で $\cos x\leqq1$ なので $h'''(x)\geqq0$。よって $h''$ は $x\geqq0$ で単調に増加し、$h''(x)\geqq h''(0)=0$。
2. $h''(x)\geqq0\ (x\geqq0)$ なので $h'$ は $x\geqq0$ で単調に増加し、$h'(x)\geqq h'(0)=0$。
3. $h'(x)\geqq0\ (x\geqq0)$ なので $h$ は $x\geqq0$ で単調に増加し、$h(x)\geqq h(0)=0$。

したがって $x\geqq0$ で $\sin x\geqq x-\dfrac{x^3}{6}$ が成り立つ。（等号は $x=0$ のときに成り立つ。）$\blacksquare$

下の図のように、2つのグラフは原点で接し、$x>0$ では $y=\sin x$ がつねに上にある。

（５）

被積分関数が定義されるのは $x+1>0$ かつ $\log(x+1)\neq0$、つまり $x>-1,\ x\neq0$ の範囲である。$t=\log(x+1)$ とおくと $\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x+1}$ なので、

$$\begin{aligned}\int \dfrac{dx}{(x+1)\left\{\log (x+1)\right\}^3}&=\int \dfrac{1}{t^3}\,dt\\&=-\dfrac{1}{2t^2}+C\\&=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2\left\{\log(x+1)\right\}^2}+C}\end{aligned}$$

（$C$ は積分定数）。実際、右辺を $x$ で微分すると $-\dfrac12\cdot(-2)\left\{\log(x+1)\right\}^{-3}\cdot\dfrac{1}{x+1}$ となり、被積分関数に戻る。

（６）

$x=\sin\theta$ とおく。$x$ が $0$ から $\dfrac12$ まで動くとき、$\theta$ は $0$ から $\dfrac{\pi}{6}$ まで動くようにとれる。$dx=\cos\theta\,d\theta$ であり、$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{6}$ では $\cos\theta>0$ なので

$$\begin{aligned}\sqrt{1-x^2}&=\sqrt{\cos^2\theta}\\&=|\cos\theta|\\&=\cos\theta\end{aligned}$$

よって

$$\begin{aligned}\int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos\theta}\cdot\cos\theta\,d\theta\\&=\int_0^{\frac{\pi}{6}}d\theta\\&=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{6}}\end{aligned}$$

（７）

$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $0\leqq\sin x\leqq1$ なので、$\sin x-\sin^2x=\sin x\,(1-\sin x)\geqq0$、つまり $0\leqq\sin^2x\leqq\sin x$ である。よって領域は下の図の塗った部分で、$x$ 軸より上（$y\geqq0$ の側）にある。

この領域を $x$ 軸のまわりに回転させると、平面 $x=t\ \left(0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ による断面は、外側の半径 $\sin t$・内側の半径 $\sin^2t$ の円環（ドーナツ形）になる。その面積は $\pi\left(\sin^2t-\sin^4t\right)$ なので、体積は

$$V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin^2x-\sin^4x\right)dx$$

ここで

$$\begin{aligned}\sin^2x-\sin^4x&=\sin^2x\,(1-\sin^2x)\\&=\sin^2x\cos^2x\\&=\dfrac{\sin^22x}{4}\\&=\dfrac{1-\cos4x}{8}\end{aligned}$$

と変形できるので、

$$\begin{aligned}V&=\dfrac{\pi}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos4x)\,dx\\&=\dfrac{\pi}{8}\left[x-\dfrac{\sin4x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\&=\dfrac{\pi}{8}\cdot\dfrac{\pi}{2}\\&=\boldsymbol{\dfrac{\pi^2}{16}}\end{aligned}$$