トップ 塾講師木下 積分 ← 前の記事 一覧へ 次の記事 → パップス・ギュルダンの定理
目次
1. 定理の内容 2. 例：トーラスの体積 3. 逆に使って重心の位置を求める 4. 傘型近似の帯を定理で見直す 目次 1. 定理の内容 2. 例：トーラスの体積 3. 逆に使って重心の位置を求める 4. 傘型近似の帯を定理で見直す 平面図形を直線のまわりに1回転させた立体の体積は、ふつうは断面積を積分して求めます。ところが図形の面積 と重心の位置 が分かっていれば、積分をせずに掛け算1回で体積が出ます。そのことを保証するのがパップス・ギュルダンの定理です。
この定理は高校の教科書の範囲外で、答案の中で使うと証明していない結果を引用したことになります。答案では積分で体積を計算し、定理のほうは見当づけや検算に使いましょう。
1. 定理の内容
パップス・ギュルダンの定理
平面上に直線 l l l A A A A A A l l l l l l l l l A A A S S S A A A l l l r r r A A A l l l V V V
V = S × 2 π r V=S\times2\pi r V = S × 2 π r
である。2 π r 2\pi r 2 π r
図1 図形 A A A l l l A A A l l l r r r ここで「重心」とは、図形 A A A l l l x x x A A A y ≧ 0 y\geqq0 y ≧ 0 l l l
r = 1 S ∬ A y d x d y r=\frac1S\iint_A y\,dx\,dy r = S 1 ∬ A y d x d y
で定めます。右辺は「A A A y y y
なぜ成り立つのか
A A A Δ S \Delta S Δ S l l l y y y l l l y y y Δ S \Delta S Δ S 2 π y 2\pi y 2 π y 2 π y Δ S 2\pi y\,\Delta S 2 π y Δ S
A A A l l l
V = ∬ A 2 π y d x d y = 2 π ⋅ ∬ A y d x d y = 2 π ⋅ r S \begin{aligned}V&=\iint_A 2\pi y\,dx\,dy\\&=2\pi\cdot\iint_A y\,dx\,dy=2\pi\cdot rS\end{aligned} V = ∬ A 2 π y d x d y = 2 π ⋅ ∬ A y d x d y = 2 π ⋅ r S
となります。最後の等号で、上の r r r
A A A l l l l l l
定理の式には図形の形そのものが入っていません。したがって、面積と重心の高さが同じなら、図形を平面の中でどう回したりずらしたりしても（l l l
2. 例：トーラスの体積
円を、その円と交わらない直線のまわりに回してできるドーナツ形の立体をトーラス といいます。
例
x y xy x y ( 0 , R ) (0,\,R) ( 0 , R ) ρ \rho ρ x x x R > ρ R>\rho R > ρ x x x
図2 x x x ( 0 , R ) (0,\,R) ( 0 , R ) ρ \rho ρ 円の面積は π ρ 2 \pi\rho^2 π ρ 2 R R R
V = π ρ 2 × 2 π R = 2 π 2 R ρ 2 V=\pi\rho^2\times2\pi R=\boldsymbol{2\pi^2R\rho^2} V = π ρ 2 × 2 π R = 2 π 2 R ρ 2
この値を積分でも確かめておきます。x x x x = t x=t x = t − ρ ≦ t ≦ ρ -\rho\leqq t\leqq\rho − ρ ≦ t ≦ ρ R − ρ 2 − t 2 R-\sqrt{\rho^2-t^2} R − ρ 2 − t 2 R + ρ 2 − t 2 R+\sqrt{\rho^2-t^2} R + ρ 2 − t 2
π { ( R + ρ 2 − t 2 ) 2 − ( R − ρ 2 − t 2 ) 2 } = 4 π R ρ 2 − t 2 \pi\Bigl\{\bigl(R+\sqrt{\rho^2-t^2}\bigr)^2-\bigl(R-\sqrt{\rho^2-t^2}\bigr)^2\Bigr\}=4\pi R\sqrt{\rho^2-t^2} π { ( R + ρ 2 − t 2 ) 2 − ( R − ρ 2 − t 2 ) 2 } = 4 π R ρ 2 − t 2
です。∫ − ρ ρ ρ 2 − t 2 d t \displaystyle\int_{-\rho}^{\rho}\sqrt{\rho^2-t^2}\,dt ∫ − ρ ρ ρ 2 − t 2 d t ρ \rho ρ π ρ 2 2 \dfrac{\pi\rho^2}{2} 2 π ρ 2 V = 4 π R ⋅ π ρ 2 2 = 2 π 2 R ρ 2 V=4\pi R\cdot\dfrac{\pi\rho^2}{2}=2\pi^2R\rho^2 V = 4 π R ⋅ 2 π ρ 2 = 2 π 2 R ρ 2
3. 逆に使って重心の位置を求める
回転体の体積を別の方法で知っていれば、定理の式を r r r l l l
まず答えの分かっている図形で確かめる 直角をはさむ2辺の長さが h h h k k k h h h l l l l l l k k k h h h 1 3 π k 2 h \dfrac13\pi k^2h 3 1 π k 2 h 1 2 h k \dfrac12hk 2 1 hk
r = V 2 π S = 1 3 π k 2 h 2 π ⋅ 1 2 h k = k 3 r=\frac{V}{2\pi S}=\frac{\frac13\pi k^2h}{2\pi\cdot\frac12hk}=\frac k3 r = 2 π S V = 2 π ⋅ 2 1 hk 3 1 π k 2 h = 3 k
となります。3頂点の高さは 0 , 0 , k 0,\,0,\,k 0 , 0 , k k 3 \dfrac k3 3 k
例：半円の重心
半径 r r r d d d
図3 直線 l l l r r r d d d 直径を l l l l l l r r r 4 3 π r 3 \dfrac43\pi r^3 3 4 π r 3 1 2 π r 2 \dfrac12\pi r^2 2 1 π r 2
4 3 π r 3 = 1 2 π r 2 × 2 π d ∴ d = 4 r 3 π \frac43\pi r^3=\frac12\pi r^2\times2\pi d\qquad\therefore\ d=\frac{4r}{3\pi} 3 4 π r 3 = 2 1 π r 2 × 2 π d ∴ d = 3 π 4 r
4 3 π ≒ 0.42 \dfrac{4}{3\pi}\fallingdotseq0.42 3 π 4 ≒ 0.42
練習 同じ方法で、次の図形の重心を求めてみましょう。回転軸を2通りにとると、重心の座標が1つずつ求まります。
不等式 0 ≦ x ≦ 1 0\leqq x\leqq1 0 ≦ x ≦ 1 0 ≦ y ≦ x 2 0\leqq y\leqq x^2 0 ≦ y ≦ x 2 x x x y y y
半径 r r r π 2 \dfrac\pi2 2 π
半径 r r r θ \theta θ 0 < θ ≦ π 0<\theta\leqq\pi 0 < θ ≦ π l l l 2 3 π r 3 ( 1 − cos θ ) \dfrac23\pi r^3(1-\cos\theta) 3 2 π r 3 ( 1 − cos θ )
図4 左が練習1の領域、右が練習3の扇形 扇形の答えが出たら、θ = π \theta=\pi θ = π θ \theta θ 0 0 0 2 3 r \dfrac23r 3 2 r
練習の答え（自分で求めてから開く）
練習1：面積 1 3 \dfrac13 3 1 x x x π 5 \dfrac\pi5 5 π y y y π 2 \dfrac\pi2 2 π ( 3 4 , 3 10 ) \left(\dfrac34,\ \dfrac3{10}\right) ( 4 3 , 10 3 )
練習2：扇形の2本の半径それぞれからの距離が 4 r 3 π \dfrac{4r}{3\pi} 3 π 4 r l l l 2 3 π r 3 \dfrac23\pi r^3 3 2 π r 3 1 4 π r 2 \dfrac14\pi r^2 4 1 π r 2 4 r 3 π \dfrac{4r}{3\pi} 3 π 4 r
練習3：l l l 2 r ( 1 − cos θ ) 3 θ \dfrac{2r(1-\cos\theta)}{3\theta} 3 θ 2 r ( 1 − cos θ ) 4 r sin θ 2 3 θ \dfrac{4r\sin\frac\theta2}{3\theta} 3 θ 4 r sin 2 θ
4. 傘型近似の帯を定理で見直す
授業では、斜めの直線を回転軸にして、その直線と曲線で囲まれた部分を回す問題を扱いました（斜回転体の頁 ）。そこで使った「傘型近似」は、x x x Δ x \Delta x Δ x h h h π cos θ h 2 Δ x \pi\cos\theta\,h^2\,\Delta x π cos θ h 2 Δ x θ \theta θ x x x
この式は、パップス・ギュルダンの定理からも出せます。帯は一端が回転軸に接していて、軸の片側にあります。帯の面積は h Δ x h\,\Delta x h Δ x s s s s cos θ s\cos\theta s cos θ h 2 \dfrac h2 2 h h 2 cos θ \dfrac h2\cos\theta 2 h cos θ
h Δ x × 2 π ⋅ h 2 cos θ = π cos θ h 2 Δ x h\,\Delta x\times2\pi\cdot\frac h2\cos\theta=\pi\cos\theta\,h^2\,\Delta x h Δ x × 2 π ⋅ 2 h cos θ = π cos θ h 2 Δ x
となり、等積変形で出した式と同じになります。
塾の授業で配った補足資料をもとに書き直しました。
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図1 図形 を直線 のまわりに回す。体積に関係するのは の面積と、重心 G から までの距離 だけである
図2 軸を回転軸とし、中心 C、半径 の円を回す。点線の円は、半回転したときの位置
図3 直線 上に直径を置いた半径 の半円。直径の中点 O から距離 の所に重心 G がある
図4 左が練習1の領域、右が練習3の扇形