粒子数が保存しない

(1) 光子は質量ゼロなので $k^2=0$、静止電子は $p^\mu=(m,\bm{0})$ で $p^2=m^2$ である。光子の4元運動量を $k^\mu=(\omega,\bm{k})$ と書くと $k\cdot p=\omega m$ となるから

$$s=(k+p)^2=k^2+2k\cdot p+p^2=2\omega m+m^2 .$$

(2) $s$ は重心系での全エネルギーの2乗である（この事実は検算スクリプトで確認済み）。終状態は質量 $m$ の粒子3個なので、重心系で最低でも $3m$ のエネルギーが要る。すなわち $s\ge(3m)^2=9m^2$ であり、

$$2\omega m+m^2\ge9m^2\quad\Longrightarrow\quad \omega\ge4m .$$

電子は $m=0.511\,$MeV なので $\omega\ge2.04\,$MeV となる。「$2mc^2$ 程度」という見積もりは正しいオーダーだが、静止した相手にぶつける配置では反跳にエネルギーを取られるため、実際のしきい値は $4mc^2$ である。