局在化と因果律

場の量子論入門　第1部 第1章 §1.1.4　★★ 核心：Compton 波長より細かい「位置」は物理的に意味を持たない

三つ目の破綻は、位置という概念そのものに現れる。粒子を幅 $\Delta x$ の領域に閉じ込めると、不確定性関係から運動量の広がりは $\Delta p\gtrsim1/\Delta x$ になる。相対論的な領域では $\Delta p$ がそのままエネルギーの広がり $\Delta E\gtrsim1/\Delta x$ を意味する。$\Delta x$ を小さくしていき、$\Delta E$ が $2m$（対生成のしきい値）に届くと、局在させようとする操作そのものが粒子・反粒子対を作ってしまう。この境目の長さが

$$\Delta x\sim\frac{1}{2m}\qquad\text{（自然単位），\quad SI では}\quad \frac{\hbar}{2mc}$$

で、$1/m=\hbar/(mc)$ を粒子の換算 Compton 波長と呼ぶ。電子では $3.862\times10^{-13}\,$m である（第2.4節で復元の仕方を示す）。つまり、電子を $10^{-13}\,$m より細かく局在させた状態は、「1個の電子の状態」ではなく「電子と陽電子が何個か混ざった状態」になる。1粒子の位置演算子は、この長さより細かい分解能では意味を失う。

因果律の側から見ても同じ結論に至る。$H=\sqrt{\bm{p}^2+m^2}$ を素直に1粒子の Hamiltonian として使い、時刻 $0$ に原点に局在した状態が時刻 $t$ に点 $\bm{x}$ に見出される振幅を計算すると、$|\bm{x}|>t$ すなわち光円錐の外でも振幅はゼロにならず、$\mathrm{e}^{-m|\bm{x}|}$ 程度の裾を持つ。1粒子量子力学のままでは、情報が光速を超えて漏れる。

図 1.2：光円錐。点 $x$ と空間的に分離した点 $y$（$(x-y)^2<0$）では、どちらが先に起きたかが観測者の運動状態によって入れ替わる。したがって $x$ と $y$ での測定は互いに影響し合ってはならず、場の量子論では観測量の交換子 $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]$ が空間的分離でちょうどゼロになることが要請される。

場の量子論はこの漏れを次のように処理する。粒子が $x$ から $y$ へ伝わる振幅と、反粒子が $y$ から $x$ へ伝わる振幅は、空間的分離ではどちらも個別にはゼロでないが、交換子の中でちょうど打ち消し合う。微視的因果律 $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]=0\ \ ((x-y)^2<0)$ が成り立つのは、反粒子がいて、しかもその質量が粒子と等しいからである。因果律という要請が、反粒子の存在と質量の一致を要求すると言い換えてもよい。この打ち消しの計算は第2部 第4章で実行する。

局在化の限界が原子物理に影響しないことも確認しておく。電子の換算 Compton 波長 $3.862\times10^{-13}\,$m は、Bohr 半径 $5.3\times10^{-11}\,$m より2桁以上小さい。だから原子の電子には1粒子の波動関数を使ってよく、非相対論的量子力学が現実に機能する。一方、原子核のスケール（$10^{-15}\,$m）では完全に破綻している。この数値を $\hbar c$ から復元する手順は第2.4節の例題で扱う。