結論：粒子数が可変な形式が要る

場の量子論入門　第1部 第1章 §1.1.5　★★★ 着地点：場とは「各時空点に自由度を持つ力学系」である

三つの破綻はすべて「粒子数を固定した Hilbert 空間」という前提を外せば消える。粒子数が可変な形式は、実は非相対論の文脈ですでに作ってある。『量子力学入門』第9部 第2章の第二量子化がそれで、生成演算子 $a^\dagger$ と消滅演算子 $a$ を基本量とし、状態は真空 $| 0 \rangle$ に $a^\dagger$ を作用させて作る。粒子数演算子の固有値が $0,1,2,\dots$ と変わる状態を、同じ Hilbert 空間（Fock 空間）の中で扱える。場の量子論は、これを相対論的に、かつ共変な形でやり直すものである。そのために基本量として選ぶのが場、すなわち各時空点 $x$ に値を持つ力学変数 $\phi(x)$ である。ここで注意が要る。$\phi(x)$ の $x$ は、1粒子量子力学の $\psi(\bm{x})$ の $\bm{x}$ とは役割が違う。波動関数の $\bm{x}$ は「粒子がどこにいるか」を表す力学変数の値だったが、場の $x$ は自由度に付けたラベルであって、力学変数は各 $x$ ごとの $\phi$ の値のほうである。場とは「無限個の自由度を持つ力学系」であり、$x$ はその自由度を区別する番号にすぎない。この読み替えが、位置と時間を対等に扱うことを可能にする。座標 $x^\mu$ は力学変数ではなくパラメータになるので、時間だけを特別扱いする理由が消えるからである。