4元ベクトルと計量

場の量子論入門　第1部 第2章 §1.2.1　★★★ 規約の固定：反変・共変と不変間隔

本章では計算の道具を揃える。内容自体は特殊相対論の復習だが、場の量子論では添字操作を1行の暗算で回すことになるので、規約（とくに計量の符号）を最初に固定し、例題で手を動かしておく価値がある。本書全体で、計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、自然単位は $\hbar=c=1$ に固定する。

時空の1点（事象）を、4つの数の組

$$x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(t,\bm{x})$$

で表す。上付き添字を持つこの組を反変ベクトルと呼ぶ。ギリシャ添字 $\mu,\nu,\dots$ は $0,1,2,3$ を走り、ラテン添字 $i,j,\dots$ は空間成分 $1,2,3$ だけを走る。

特殊相対論の出発点は、2つの事象の間の不変間隔

$$s^2=t^2-|\bm{x}|^2$$

が、慣性系の取り替えで変わらないという事実である。これを行列の形に書くために、計量テンソル

$$\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}$$

を導入すると $s^2=\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu$ と書ける。ここで同じ添字が上下に1組現れたら $0$ から $3$ まで和を取る（Einstein の総和規約）。一般の2つの4元ベクトル $a^\mu,b^\mu$ の内積は

$$a\cdot b=\eta_{\mu\nu}a^\mu b^\nu=a^0b^0-\bm{a}\cdot\bm{b}$$

である。