添字の上げ下げ

場の量子論入門　第1部 第2章 §1.2.2　★★★ 道具：計量で添字を動かす、4元運動量と質量殻

計量を使うと、反変ベクトル $a^\mu$ から共変ベクトル

$$a_\mu=\eta_{\mu\nu}a^\nu$$

が作れる。成分で書くと $a_0=a^0$、$a_i=-a^i$ であり、空間成分の符号だけが反転する。逆向きの操作は $a^\mu=\eta^{\mu\nu}a_\nu$ で、$\eta^{\mu\nu}$ は $\eta_{\mu\nu}$ の逆行列である（この計量では成分が同じになる）。両者を続けて掛けると

$$\eta^{\mu\rho}\eta_{\rho\nu}=\delta^\mu_{\ \nu}$$

（クロネッカーのデルタ）になる。内積は $a\cdot b=a^\mu b_\mu=a_\mu b^\mu$ とも書ける。

物理でもっとも使う4元ベクトルは、4元運動量

$$p^\mu=(E,\bm{p}),\qquad p^2=p\cdot p=E^2-|\bm{p}|^2=m^2$$

である。最後の等式が相対論的分散関係で、質量殻の条件と呼ぶ。質量ゼロの粒子（光子）では $p^2=0$ となり、$E=|\bm{p}|$ である。

微分演算子の添字の位置には注意が要る。$x^\mu$ による偏微分を

$$\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\Bigl(\frac{\partial}{\partial t},\ \nabla\Bigr)$$

と定義すると、これは下付きで自然な形になる。理由は $\partial_{\mu} x^\nu=\delta^\nu_{\ \mu}$ が添字の上下について整合するからで、$x^\mu$ が分母にあるぶん添字が下がると覚えればよい。上付きは

$$\partial^{\mu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}=\Bigl(\frac{\partial}{\partial t},\ -\nabla\Bigr)$$

となる。空間成分に負号が付くのは $\partial_{i}=\partial/\partial x^i=(\nabla)_i$ と定義したためである。これらからダランベルシアン

$$\Box\equiv\partial_{\mu}\partial^{\mu}=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2$$

が作れる。Klein–Gordon 方程式は $(\Box+m^2)\phi=0$ と1行で書ける。

平面波の位相も確認しておく。$p\cdot x=Et-\bm{p}\cdot\bm{x}$ なので、正エネルギーの平面波は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}$ と書ける。$\partial_{\mu}$ を作用させると $\partial_{\mu}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}=-\mathrm{i} p_\mu\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}$ であり、運動量空間では $\partial_{\mu}\to-\mathrm{i} p_\mu$、$\Box\to-p^2$ という置き換えが使える。