Lorentz 変換とスカラー・ベクトル・テンソル

場の量子論入門　第1部 第2章 §1.2.3　★★ 変換則：何が不変量で、何がどう混ざるか

慣性系の取り替えは、時空座標の線形変換

$$x'^\mu=\Lambda^\mu_{\ \nu}x^\nu$$

で書ける。不変間隔が保たれるという要求 $\eta_{\mu\nu}x'^\mu x'^\nu=\eta_{\rho\sigma}x^\rho x^\sigma$ は、$x$ が任意であることから

$$\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \sigma}=\eta_{\rho\sigma}\tag{1.2.1}$$

という条件になる。行列で書けば $\Lambda^{\mathsf T}\eta\Lambda=\eta$ である。これを満たす $\Lambda$ の全体が Lorentz 群で、独立なパラメータは6個ある（3方向の回転と3方向のブースト）。両辺の行列式を取ると $(\det\Lambda)^2=1$、$\rho=\sigma=0$ と置くと $(\Lambda^0_{\ 0})^2\ge1$ が出る。$\det\Lambda=+1$ かつ $\Lambda^0_{\ 0}\ge1$ の連結成分を固有直交時間的 Lorentz 変換と呼び、通常「Lorentz 変換」と言えばこれを指す。空間反転と時間反転は別成分にあり、離散対称性として別途扱う（第4部 第5章）。

変換則によって場を分類する。座標変換 $x\to x'=\Lambda x$ に対して

$$\begin{aligned} \text{スカラー場：}&\quad \phi'(x')=\phi(x),\\ \text{ベクトル場：}&\quad V'^\mu(x')=\Lambda^\mu_{\ \nu}V^\nu(x),\\ \text{2階テンソル場：}&\quad T'^{\mu\nu}(x')=\Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \sigma}T^{\rho\sigma}(x) \end{aligned}$$

と変換するものを、それぞれスカラー場・ベクトル場・テンソル場と呼ぶ。スピノル場（Dirac 場）はこのいずれでもない4つ目の変換則に従い、第4部で扱う。

添字がすべて縮約された量が不変量になることは、条件 (1.2.1) から直ちに従う。実際 $a'\cdot b'=\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\ \rho}a^\rho\Lambda^\nu_{\ \sigma}b^\sigma =\eta_{\rho\sigma}a^\rho b^\sigma=a\cdot b$ である。これが添字記法の実用上の価値で、上下の添字がすべてペアで潰れている式は、見ただけで不変だと分かる。場の理論で作用を組み立てるとき、この判定を毎回使う。また $\mathrm{d}^4x'=|\det\Lambda|\,\mathrm{d}^4x=\mathrm{d}^4x$ なので4次元体積要素も不変であり、被積分関数がスカラーなら $\int\mathrm{d}^4x\,(\text{スカラー})$ は不変量になる。作用を $\int\mathrm{d}^4x\,\mathcal{L}$ の形に書く理由がここにある（第3.2節）。