離散から連続へ：連成振動子の極限として場を作る

場の量子論入門　第1部 第3章 §1.3.1　★★ 直観：場は無限個の自由度を持つ力学系である

場を量子化する前に、古典的な場の力学を解析力学の形式で整理する。質点系の解析力学（座標 $q_i$、Lagrangian $L(q,\dot q)$、Euler–Lagrange 方程式、共役運動量 $p_i$、Hamiltonian）と1対1に対応する構造を作るのが目標で、これができれば正準量子化（第2部 第1章）は$\left[q,\,p\right]=\mathrm{i}$ を $\left[\phi,\,\pi\right]=\mathrm{i}\delta^3$ に置き換えるだけの作業になる。

場という対象を天下りに導入する代わりに、見慣れた力学系の極限として作ってみる。1次元に等間隔 $a$ で並んだ $N$ 個の質点（質量 $\mathsf m$）を、バネ定数 $\mathsf k$ のバネでつなぐ。$i$ 番目の質点の平衡位置からのずれを $q_i(t)$ とすると、Lagrangian は

$$L=\sum_i\Bigl[\frac{\mathsf m}{2}\dot q_i^2-\frac{\mathsf k}{2}(q_{i+1}-q_i)^2\Bigr]$$

である。ここで $a\to0$ の極限を取る。質点の番号 $i$ を連続の座標 $x=ia$ に置き換え、$q_i(t)\to\phi(x,t)$ と書く。差分は微分になる。

$$q_{i+1}-q_i\to a\,\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad \sum_i\to\frac1a\int\mathrm{d} x .$$

これらを代入して $a$ を整理すると

$$L=\int\mathrm{d} x\Bigl[\frac{\mathsf m/a}{2}\dot\phi^2-\frac{\mathsf ka}{2}\Bigl(\frac{\partial\phi}{\partial x}\Bigr)^2\Bigr] \equiv\int\mathrm{d} x\,\Bigl[\frac{\mu}{2}\dot\phi^2-\frac{Y}{2}(\partial_x\phi)^2\Bigr]$$

となる。$\mu=\mathsf m/a$ は線密度、$Y=\mathsf ka$ は弾性率で、どちらも極限で有限にとどまる量である。被積分関数をLagrangian 密度 $\mathcal{L}$ と呼ぶ。

この極限操作から読み取るべきことが2つある。1つは、場 $\phi(x,t)$ が「各 $x$ ごとに1つずつ用意された力学変数」であること、つまり場とは自由度が連続無限個ある力学系だということである。番号 $i$ が連続変数 $x$ になっただけで、$x$ 自体は力学変数ではない。もう1つは、Lagrangian が $\int\mathrm{d} x\,\mathcal{L}$ の形になり、$\mathcal{L}$ が $\phi$ とその1階微分だけで書けていることである。場の理論ではこの形（局所性）を要請として採用する。