作用と最小作用の原理

場の量子論入門　第1部 第3章 §1.3.2　★★★ 基本原理：理論を決めるとはラグランジアン密度を1つ選ぶこと

相対論的な場の理論では、時間と空間を対等に扱いたい。そこで

$$S=\int\mathrm{d}^4x\,\mathcal{L}\bigl(\phi,\partial_{\mu}\phi\bigr)\tag{1.3.1}$$

を作用とし、これを基本量に据える。$\mathcal{L}$ はLagrangian 密度である（場の理論では単に「ラグランジアン」と呼ぶことも多い）。場が複数あるときは $\mathcal{L}(\phi_a,\partial_{\mu}\phi_a)$ と書く。

この形を採る理由は2つある。第一に、$\mathrm{d}^4x$ は Lorentz 不変（第2.3節）なので、$\mathcal{L}$ が Lorentz スカラーであれば作用は不変になり、したがって運動方程式が共変になる。理論を相対論的にするという要求が、「$\mathcal{L}$ をスカラーとして組む」という具体的な作業に翻訳される。第二に、$\mathcal{L}$ が同じ時空点での $\phi$ と有限階の微分だけに依存する（局所性）ことで、遠く離れた点が瞬時に影響し合う理論を排除できる。微分は1階までに限るのが標準で、2階以上を入れると運動方程式が時間について3階以上になり、一般にエネルギーが下に有界でなくなる。

最小作用の原理は、物理的に実現する場の配位が作用の停留点だと述べる。場 $\phi(x)$ を微小に変え $\phi\to\phi+\delta\phi$ としたとき、積分領域の境界で $\delta\phi=0$ という条件のもとで $\delta S=0$ となる配位が運動方程式の解である。質点系で $\delta\int L\,\mathrm{d} t=0$ から Euler–Lagrange 方程式が出たのと同じ構造で、違いは変分する変数が $q(t)$ から $\phi(x)$ に増えたことだけである。