共役運動量とハミルトニアン密度

場の量子論入門　第1部 第3章 §1.3.4　★★★ 正準量子化の土台：$\pi$ を作れば $\left[\phi,\,\pi\right]$ に進める

質点系で $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ を定義したのと同じく、場に対しては

$$\pi(x)\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi(x)}\tag{1.3.3}$$

を共役運動量密度と定義する（$\dot\phi=\partial_t\phi$）。名前に「密度」が付くのは、離散系の $p_i$ に対応する量が $\pi(x)\,\mathrm{d}^3x$ だからである。これを使ってHamiltonian 密度を

$$\mathcal{H}=\pi\dot\phi-\mathcal{L}\tag{1.3.4}$$

で定義し、全 Hamiltonian を $H=\int\mathrm{d}^3x\,\mathcal{H}$ とする。右辺では $\dot\phi$ を (1.3.3) を解いて $\pi$ で書き直しておく。

ここで1つ注意しておく。$\mathcal{L}$ は Lorentz スカラーに組んだのに、$\pi$ と $\mathcal{H}$ は時間微分を特別扱いするので Lorentz スカラーではない。$\mathcal{H}$ は、第4.2節で導くエネルギー運動量テンソル $T^{\mu\nu}$ の $00$ 成分にあたり、テンソルの1成分だから当然観測者に依存する。それでも正準形式を使うのは、量子化の手順（正準交換関係を課す）が Hamiltonian 形式の上に組まれているからである。共変性はいったん犠牲にし、計算の最後に結果が共変であることを確かめる、という進め方をする（共変性を保ったまま量子化する方法が経路積分で、第7部で扱う）。